集约束下的变分不等式：像空间分析法

孙怡 贺越 刘丹阳

摘要：变分不等式是一种数学模型，属于平衡问题的一类，常应用于交通均衡问题、经济均衡問题以及生态产业链问题。像空间分析法（ISA）是研究最优问题与平衡问题非常重要的工具之一。为了丰富ISA在变分不等式问题上的研究，在集约束的假设下，利用ISA研究了在欧氏空间中经典变分不等式问题。首先，验证了问题的线性分离性。然后，通过拉格朗日型函数得到了拉格朗日型鞍点条件。最后，给出了变分不等式的最优性条件。

关键词：集约束；变分不等式；像空间分析法；线性分离性；鞍点；最优性条件

中图分类号：O224文献标志码：A文章编号：16735072（2024）03025407变分不等式问题（VI） 在优化问题、均衡问题、经济学中有着广泛的应用。锥约束VI广泛应用于交通网络均衡问题、经济平衡均衡问题、电力交通耦合网络均衡状态。Hartman和Stampacchia提出有限维VI［1］，Kinderlehrer和Stampacchia提出了无穷维VI［2］。VI丰富了非线性分析和光滑凸规划问题的最优性条件理论，有利于这些应用中算法的发展。

像空间分析法（Image Space Analysic，ISA）由Giannessi ［3］正式提出，该方法如今已经被广泛用于研究VI［410］、约束极值问题［11］和优化问题［12］的线性分离性、鞍点定理、拉格朗日型最优性条件［1314］。这些问题的任何含参系统不可行形式可退化表示为ISA中两个适当子集不相交。通过证明这两个不相交子集位于某个分离泛函的两个子水平集中就可以得到该系统的不可能性。如果分离泛函是线性的，则这两个子集是线性分离的。

本文利用ISA研究集约束下的VI。首先回顾了一些本文所需要的基础知识，再描述了在集约束下VI的ISA，接着讨论了VI的线性分离性，最后证明了拉格朗日型鞍点条件和拉格朗日型最优性条件。