GeoGebra辅助三角函数教学研究

陈露 姜合峰

【摘要】信息技术与学科教育相结合，积极构建新型课堂教学模式，以高中人教版必修一“三角函数”为例，将GeoGebra有效融入课堂教学中，让学生自主探究，经历数学知识发生发展过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.

【关键词】GeoGebra；三角函数；教学设计

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）在教学建议中明确指出教师要重视信息技术的运用，实现信息技术与数学课程的深度融合.2018年教育部发布《教育信息化2.0行动计划》指出，发挥技术优势，变革传统模式，推进新技术与教育教学的深度融合［1］.《教育信息化“十三五”规划》要求增强教师在信息化环境下创新教育教学的能力，使信息化教学真正成为教师教学活动的常态［2］.在北京师范大学数学科学学院曹一鸣教授牵头下，于2011年5月成立了北京师范大学GeoGebra学院（中国总部），致力于推广GeoGebra数学教学软件［3］.可见国家高度重视信息技术与数学教育教学的融合.

函数是贯穿高中数学课程的一条主线，函数知识是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养的一个重要载体［4］.由于其具有高度抽象性和复杂性，在实际教学中学生常因理解困难、画图能力欠缺难以把握函数知识的本质.将GeoGebra融入数学课堂，可改善函数教学较为枯燥的现状，更易将数形结合思想渗透到数学课堂中，并且由GeoGebra生成的动态图象和轨迹追踪等功能会激发学生的兴趣，提高学生数学学习的积极性.

2 GeoGebra与高中数学教学融合原则

2.1 科学性原则

首先教学要确保科学性，作图精准；其次教学要有层次性，由浅入深；最后要保持师生思维同步，不能仅被GeoGebra所吸引而忽略数学知识的学习，要做到有的放矢［5］.

2.2 主体性原则

借助GeoGebra辅助教学时，始终围绕学生这一主体，以教学目标、教学内容为参考依据，以学生已有的认知结构为基础，遵循学生认知和思维发展规律，让学生在学习过程中不仅掌握数学知识，还要发展其数学思维.

2.3 探究性原则

GeoGebra为学生提供了一个可操作的探究平台，将数学知识、数学思维可视化.在探究过程中，应重视学生生成，注重启发引导，让学生成为知识的“发现者”和“研究者”，在知识发生、发展过程中发散思维，积累数学活动经验，培养探索精神.

2.4 动态性原则

高中数学具有高度的抽象性，使用GeoGebra使数学知识动态化，从而分解教学中的重难点，加强学生对知识的理解与掌握，提高教学实效性，促进学生直观思维的发展.

3 基于GeoGebra的《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计

3.1 实际背景，引入新课

通过GeoGebra演示交流发电机原理、质点振动和波的传播、简谐运动等真实情境向学生展示生活中的正弦曲线和余弦曲线，如图1.

设计意图：运用动态性原则，通过生活实际感知正弦函数、余弦函数在生活中的应用，使学生感受数学源于生活，引发学生思考，激发学生兴趣.

3.2 新知探究，难点突破

探究1 正弦函数图象

问题1 如何画出y=sinx，x∈0，2π的图象？

方法1 在0，2π内任取一些横坐标的值

如x取0，π6，π4，π3，π2…，再计算出对应的sinx为0，12，22，32，1.对于22和32这样的无理数如何描点？

可借助计算器算出近似值；也可以根据正弦函数的定义精准描点，借助GeoGebra在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴交点为A1，0，将点A绕着点O逆时针旋转x0弧度至点B（利用滑动条控制x0的大小），根据正弦函数的定义知点B的纵坐标y0=sinx0，故以x0为横坐标，y0为纵坐标，得到函数图象上的点Tx0，sinx0，如图2.

根据正弦函数的定义，一个点的横坐标x0表示哪几个量？sinx0的几何意义是什么？

根据α=lr，x0=lr=l1=l，则一个点的横坐标x0既表示任意角，又表示这个角所对应的弧长，sinx0的几何意义是在单位圆中角x0的终边与单位圆交点的纵坐标.

方法2 在0，2π内取等分点

在GeoGebra中利用序列指令将圆周分成12等份，使x0的值分别为0，π6，π3，π2，…，2π，再按上述畫点Tx0，sinx0的方法画出x0取这些值时对应的函数图象上的点，如图3，最后用连续光滑的曲线将这些点连接起来就得到y=sinx，x∈0，2π的图象.

通过GeoGebra使x0在0，2π上取足够多的值，从而画出足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连接起来就得到比较精确的函数y=sinx，x∈0，2π的图象，如图4.

设计意图 运用科学性原则，代数描点法作图不精确，故利用正弦函数定义的几何意义作图，GeoGebra的融入既呈现知识的生成过程，让学生直观感知正弦函数图象的形成过程，又培养了学生学习数学抽象、直观想象等的数学素养.

问题2 如何画出函数y=sinx，x∈R的图象？

由sinx+2kπ=sinx，k∈Z知，终边相同角的正弦函数值相等.通过GeoGebra演示自变量每增加（或减少）2π时，正弦函数值重复出现的过程（如图5），从而得出结论：函数y=sinx，x∈2kπ，2k+1π，k∈Z且k≠0的图象与y=sinx，x∈0，2π图象完全一致.

通过GeoGebra将函数y=sinx，x∈0，2π的图象不断向左、向右移动，每次平移2π个单位长度，得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象，如图6.正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

设计意图 运用探究性原则，分别从几何与代数两个角度理解函数y=sinx，x∈R的图象，空间想象力弱的学生能通过观察GeoGebra的动态展示达到学习目标.既培养了学生的“四基四能”，又让他们感受到信息技术给数学研究带来的简便和正弦函数图象的循环美.

探究2 余弦函数图象

问题3 正弦函数与余弦函数是一对密切关联的函数，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？

从数的角度，根据诱导公式cosx=sinx+π2，而函数y=sinx+π2，x∈R的图象又可通过函数y=sinx，x∈R的图象向左平移π2个单位长度得到，故将正弦函数图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数图象；从形的角度，通过GeoGebra（如图7），控制滑动条将y=sinx，x∈R的图象向左平移π2个单位长度就可得到y=cosx，x∈R的图象.

余弦函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

追问 你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？

学生交流讨论，汇报结论，若x0，y0是函数y=cosx图象上任意一点，根据诱导公式得y0=cosx0=sinx0+π2，令x0+π2=t0，則有y0=sint0，即在函数y=sinx图象上有对应点t0，y0，因为x0+π2=t0，即x0=t0－π2，所以点x0，y0可以通过点t0，y0向左平移π2个单位长度得到，则将正弦函数图象上的点向左平移π2个单位长度就得到余弦函数的图象.

类似于“五点法”画正弦函数图象，让学生尝试画出y=cosx，x∈－π，π的简图.

设计意图 运用主体性原则，充分利用已有经验，将诱导公式学以致用，自主探究并直观感知正弦函数与余弦函数的关系，将代数变化与几何直观变化相结合，渗透数形结合思想和转化与化归思想，培养直观想象和逻辑推理素养，提升数学思维品质.

4 结语

新教材中正弦函数和余弦函数图象的内容不同以往，没有采用三角函数线，而是紧扣函数研究路径和单位圆，利用正弦函数的定义认识正弦函数的图象，而GeoGebra与课堂教学的融合，生动形象、高容、高效，可以带动教学方式的转变，让学生体会知识的形成过程，同时也提升了数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.教育信息化2.0行动计划［Z］.2018-4-13．

［2］教技［2016］2号文件，教育部关于印发《教育信息化“十三五”规划》的通知［Z］.

［3］刘怡轩.GeoGebra在中学数学教学中的应用与展望——访谈曹一鸣教授［J］.中学数学教学参考，2021（13）：42-44+54.

［4］教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［5］章建跃，李柏青，金克勤，董凯.体现函数建模思想加强信息技术应用——“函数y=Asin（ωx+φ）”的修订研究报告［J］.数学通报，2015，54（08）：1-8.