数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析

陈元斌

【摘要】新课标明确提出，要重视学生自主学习和解题能力的培养和提升，强调数学兴趣的激发，重视学生终身学习能力和意识的形成.而数形结合思想通过数量关系和图形的结合，能够有效降低数学学习的难度，充分落实新课标要求.

【关键词】数形结合；高中数学；课堂教学

高中数学与小学数学和初中数学比起来，具备一定深度和难度，学生的学习过程有一定难度，而数形结合思想的运用能够有效降低数学教学中的难度和抽象性，让学生在数形转化中感受数学的乐趣，有利于学生进一步深入数学教学中开展学习活动.

1 数形结合思想内涵

数形结合思想是近几年逐渐被应用的教学方式，将数字与图形有机结合，能够提高学生对数学定理、概念的理解深度，强化数学问题的解决效率，一定程度上降低数学习题难度，具有重大教学价值.通过数形结合思想，学生能够将图形和数量关系有机结合，解决实际数学问题.对数形结合思想的运用可以分为以形助数和以数解形两种方式，一方面能够利用图形表达意义、概念、属性等，一方面能够运用图形表示数量、公式之间的关系，二者相互独立，却又相互联系、相辅相成.

2 数形结合思想在高中数学中的运用优势

2.1 降低知识难度

高中阶段的数学具有较强的抽象性、逻辑性和理论性、计算性等特点，而高中阶段学生虽然具有一定数学基础和数学思维，但对抽象、复杂的教学内容难以真正掌握和理解，容易对数学学科的学习形成恐惧、抗拒心理，不利于数学课堂质量的提升，而在高中数学教学中运用数形结合思想，能够将抽象的数学定理、公式通过图形的方式直观、形象地展示给学生，降低数学教学的困难程度，便于培养学生运用数形结合思想解题的能力，使学生能够在自主学习中理解、学习教学知识，提高自身自主性和独立性，进一步培养数学能力和数学素养.

2.2 降低问题难度

在教学中运用数形结合思想能够降低学生理解数学定理的难度，同时，数形结合思想能够运用到实际问题的解决中，增加学生解题路径和思路，将复杂、抽象的数量关系以图形的方式展示，明确数量之间的关系，使学生能够更加便捷、明确地探究数学问题中数量关系之间的联系，从而运用更加便捷、合理的方法解决问题，帮助学生解决数学难题.由此可见，数形结合思想能够运用到数学知识的学习和数学问题的解决中，教师要重视对学生运用数形结合思想能力的培养，提高他们数学核心素养.

3 数形结合思想在高中数学中的运用原则

3.1 等价性原则

数形结合思想运用要遵循等价性原则，即图形性质与代数性质的等价互换，如果忽视数形结合思想的等价性原则，学生在实际运用数形结合思想时容易出现一定漏洞，并不是所有数量关系皆能够运用图形表达，图形也具有一定局限性，图形多用于说明，具有直观性、形象性特點.

3.2 双方性原则

数形结合思想的运用要遵循双方性原则，即运用数形结合思想解决问题时，要在分析直观几何的基础上对抽象的代数进行分析，如果在运用数形结合思想时偏向于某一方面，则容易产生错误.

3.3 简单性原则

数形结合思想在运用时要遵循简单性原则，在运用数形结合思想前，要分析具体问题是否需要运用数形结合方法，以及运用后是否能达到理想的效果，同时，要设计切入点，科学、合理地将数形结合思想运用到数学解题中，建立数与性的关系并转化，要注意数学隐含条件的挖掘，提高结果的精准性.

4 数形结合思想在高中数学中的运用策略

4.1 将数形结合思想与教材内容结合，避免学生记忆混淆

高中阶段数学学科中涵盖丰富的数学知识，由于数学学科的特点，部分知识具有较强的相似性和关联性，学生在实际学习中容易出现记忆混淆、运用混淆等现象，导致学生在开展数学习题训练时难以提高数学习题的正确率，从而打击学生的学习信心，不利于学生长期、持续地学习数学［1］.高中阶段数学知识与数形结合思想具有紧密联系，面对这一情况，教师在实际教学中可以将数形结合思想与数学教材有机结合，通过数形结合思想的直观和形象特点，使学生能够区分教材内容的差异性和相同性.

例如 人教版高中数学高一必修一“集合的基本运算”一课中，围绕并集、交集等概念、意义展开，以掌握并集、交集、补集的概念，符号之间的区别与联系为教学重难点.高一的学生刚刚步入高中阶段，数学思维仍然停留在初中阶段，很大一部分学生在学习这部分内容时以背诵概念为主，解决问题以套用概念为主，但随着时间的推移，学生对这部分内容的记忆逐渐减少，非常容易出现记忆混淆、遗忘的现象，基于此，教师可以将数形结合思想与教材内容有机结合，运用维恩图将并集、交集、补集直观、形象地展示给学生，通过图象和教材概念的结合，使学生明确三者的意义和异同，提高学生对数学知识的理解，强化数学记忆深度.

4.2 数形结合与数学教学结合，增加数学知识理解深度

高中阶段的数学知识具有综合性、抽象性和丰富性，强调学生对数学知识的学习和运用，但在以往教学中，教师以口述教学为主，更侧重于数学理论知识的内涵和意义教学，学生在课堂教学中以听和做为主，缺乏自身思维的运用，导致学生在学习过程中容易出现难以理解、死记硬背的现象，难以提高学生学习效率和学习效果［2］.数形结合思想能够将数学知识直观、形象地展示给学生，对学生数学思维具有一定促进作用，基于此，教师可以将数形结合思想与高中数学教学有机结合，提高高中数学教学的直观性，使学生能够真正投入数学课堂中，感受数学中蕴含的趣味，进一步理解数学知识，提高学生对数学知识的理解深度和广度.

例如 人教版高中数学高一必修一“二次函数与一元二次方程、不等式”一课中，围绕二次函数、一元二次方程、不等式概念、定义、计算方法和关系展开，以掌握二次函数、一元二次方程、不等式之间的关系为教学重难点.这部分内容涉及的知识点相对较多，教师在实际教学要改变以往的口述式教学方法，运用更加明确、直观的教学方法，将数形结合思想与教学有机结合，以图象的方式将三者的解的关系展示，使学生能够更加直观地掌握三者的关系，加深对教学内容的理解和感受.

4.3 数形结合与数学作业结合，夯实学生数学知识基础

数学基础对学生而言是非常重要的，只有具有夯实的数学基础，学生才能脚踏实地不断深入学习.教师要重视学生数学基础的构建，不断夯实基础，为后续更加深入学习奠定基础.教师可以通过布置数学作业的方式，运用实际问题促使学生将掌握的数学知识应用于实际，提高学生对教学内容运用的灵活性.高中阶段数学问题具有较强的抽象性和综合性，数学作业对学生而言具有一定的困难，基于此，教师可以引导学生利用数形结合思想，将数学作业中的数量关系以图象的方式展示，增加降低作业难度，使学生能够夯实数学基础的同时形成数形结合思想［3］.

例如 人教版高中数学高一必修一“函数的应用（二）”一课中，围绕函数零点与方程的解、二分法求方程的近似解等内容展开，以运用函数解决实际问题为教学重难点.这部分内容具有较强的实用性，以对知识的运用为重点，教师在教学时，要注重学生对基础知识的掌握，可以布置难易程度适中的作业，在巩固基础的同时拓展数学解题能力，如求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数.学生在解决这一问题时，可以画出y=lnx+2x－6的图象，并列出y=f（x）对应数值表，观察零点所在区间，可知f（2）<0，f（3）>0，则f2f3<0.由函数零点存在定理可知，函数fx=lnx+2x－6在区间（2，3）内至少有一个零点，函数fx=lnx+2x－6，x∈（0，+∞）是增函数，所以函数只有一个零点，即相应方程lnx+2x－6=0只有一个实数解.

4.4 数量关系转换为空间几何，提高学生数学解题能力

数学学科的根本在于解决实际问题，高中数学学科的根本目标在于培养学生解决数学问题的能力，而解决问题也是学生将所学知识运用到实际中的体现，由此可见数学问题解决能力的重要性［4］.教师在实际教学中，可以将复杂、抽象的数学数量难题，通过数形结合思想的支撑，将数量问题转化为几何问题，将复杂、抽象的数学难题降低难度，能够在一定程度上发散学生数学思维，明确解决数学难题的策略和方法，提高他们数学问题的解决能力，实现高效率数学学习.

例如 人教版高中数学高一必修一“任意角和弧度制”一课中，围绕任意角和弧度制的概念、定义等方面展开，以理解正角、负角、零角定义，掌握终边相同的角的表示方法为教学重难点.以写出终边在直线y=x上的角的集合S，S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？教师可以将题干中的要求和数量关系以图象展示，如图1所示，在直线坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合：

S=ββ=45°+k·360°，k∈Z

∪ββ=225°+k·360°，k∈Z

即S=ββ=45°+n·180°，n∈Z.

S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有

45°－2×180°=－315°，

45°－1×180°=－135°，

45°+0×180°=45°，

45°+1×180°=225°，

45°+2×180°=405°，

45°+3×180°=585°.

图1

通过将数学数量关系转化为图形，能够明确分析出数量关系之间的联系，为学生解决问题提供较大便利，教师在教学中要积极将数形结合思想融入高中教学中，在提高课堂质量基础上培养学生数形结合思想，使学生逐渐具备学习能力.

5 结语

综上所述，将数形结合思想运用到数学教学和解题中，能够将复杂、抽象的数量关系、公式、概念转变成直观、形象的知识，最大程度降低数学知识和问题的难度，能提高学生解题效率，从而提高学生的数学学习效率，进一步发展学生的数学能力.

参考文献：

［1］刘杰，韩继伟，高夯.由描述性到形式化：中学函数定义的发展及其价值［J］.数学教育学报，2022，31（03）：1-5.

［2］李保臻，陈国益.高中数学教科书中数学建模问题情境的比较研究［J］.数学教育学报，2022，31（03）：6-14.

［3］吕世虎，彭燕伟.2020版高中数学课标中课程结构的变化和特点［J］.数学教育学报，2022，31（04）：1-6.

［4］华志远.以高中数学为主导的跨学科教学探索与思考［J］.数学通报，2022，61（06）：30-33+37.