融合基本图形，助力素养提升

钱宗

【摘要】融合基本图形的性质和特征解题是一线教师关注的焦点，本文以一道中考几何试题的剖析入手，从剖析基本图形视角出发，探讨解决几何难题的重要方法，引导学生在实践中提升数学解题能力，提升学科核心素养.

【关键词】基本图形；初中数学；解题能力

几何题是初中数学课程教学中的重点和难点，综合几何题给不少学生带来一定困难，实践表明，综合几何题中的几何图形一般由若干个基本图形组合而成，在组合过程中基本图形的部分性质出现隐蔽的现象；可见，综合几何题的剖析过程离不开对基本图形性质的理解与应用.本文以一道中考几何题为探究载体，重点探讨在几何题中如何从基本图形入手，层层剖析复杂几何图形，提升学生数学解题能力.

1 原题剖析与方法探究

题目 边长为2的菱形ABCD中∠B为锐角，如图1所示，AE⊥BC，DM⊥ME，点M为AB的中点，试求cosB的值.

剖析 根据题设信息可知，只需求出BE即可求得cosB的值，在现有的图形中缺少与BE直接联系的数量关系，此时需要根据构建基本图形，挖掘其中隐含的信息，进而获取与BE相关的数量关系，从而求解.从直角和中线特征出发构造基本图形，如图2所示.解法1 基本图形“中垂线”性质的应用

延长线段EM、DA交于点N，连接DE，如图3所示，

因为AD∥BC，

所以∠NAM=∠MBE，

因为M为线段AB的中点，∠AMN和∠BME是对顶角，

所以△AMN≌△BME，则AN=BE，MN=ME.

设BE=AN=x，

因為DM⊥EN，

所以DE=DN=x+2，

在Rt△AED中，AE2+AD2=DE2，

即4－x2+22=（x+2）2，即x=－1+3（x>0），

则cosB=BEAB=－1+32.

解法2 基本图形“倍长中线”特征的应用

延长线段EM、DA交于点N，如图4所示，根据解法1可知，DN=x+2，MN=1，NE=2.

因为△AEN∽△MDN，所以，ANNM=NEND，

则x1=2x+2，所以x=－1+3（x>0），

则cosB=－1+32.

2 变式拓展与有效延伸

学生数学思维广度的拓展与延伸离不开数学题的一题多解、多解归一的剖析，一题多变是强化学生思维深度的重要手段，文章原题中涉及基本图形性质与特征是本题核心所在，作为教师可以对题设条件进行改变，达成一题多变的效果，引导学生进行分析，可以有效提升学生分析问题和解决问题的能力.

变式1 （改变M是线段AB中点的条件）已知边长为2的菱形ABCD中∠B为锐角，如图5所示，AE⊥BC，DM⊥ME，点M为AB的三等分点，试求cosB的值.

变式2 （改变菱形和M是线段AB中点的条件）在平行四边形ABCD中∠B为锐角，如图6所示，AE⊥BC，DM⊥ME，点M为AB的三等分点，其中AB=2、AD=3，试求cosB的值.

3 教学启示

第一，挖掘课本教材资源，引导学生构建图形体系.在课本教材的经典例题和习题中，经常涉及由几个基本图形组合而成的复杂几何图形，教师可以带领学生提炼出基本图形进行剖析，引导学生从基本图形视角出发分解复杂几何图形，形成自己的图形建构体系.同时，教师可以根据经典试题中的基本图形素材进行命题，让学生在实践中提升解决问题的能力，体验基本图形的价值与功效.

第二，洞悉基本图形生成，提升学生分析问题能力.《义务教育数学课程标准》明确要求，学生具备从复杂几何图形中分解基本图形的能力；在教学实践中，教师可以引导学生从基本图形出发剖析典型案例，让学生经历基本图形的生成过程，感悟基本图形的应用意义与价值.

第三，关注图形教学反思，提升学生数学解题能力.众所周知，反思是数学思维活动的核心和动力，是快速提升学生分析问题、解决问题能力的重要手段.在几何解题教学中，数学教师应引导学生从“基本图形的构成、分析过程中的困难、基本图形性质的拓展与应用”三个角度进行反思，进而不断提升学生数学解题能力.

4 结语

总而言之，从复杂几何图形中分解出基本图形进行剖析是解决几何试题的重要方法，作为一线的初中数学教师，在几何教学过程中，可以引导学生从典型案例入手，挖掘基本图形模型，让学生在实践中提升学生数学学科核心素养.

参考文献：

[1]韩丹丹.错解也能成宝吗——一道北京中考几何题的再探究[J].中小学数学，2020（04）：15-17.

[2]姜鹏.百折不挠话“折纸”——对一节中考数学二轮复习课的案例分析[J].数学教学，2021（12）：35-40.