《数学通讯》577问题的多解探究及变式推广

贵州师范大学数学科学学院 (550025) 徐凤旺 刘天明 成 敏

1.问题呈现

这是《数学通讯》2022年第11期问题解答577问题的一道不等式证明题,可以看出该不等式的条件和结论结构对称,具有数学的美感,文[1]中主要是通过三元基本不等式得到证明,读后深受启发.本文拟对该不等式的证明方法、变式及推广做进一步的探究,与大家一起分享.

2.问题解析

评注：此证法通过两次利用基本不等式的推广,最后结合“a+b+c=1”,使得不等式得证.

评注：此证法通过观察不等式的结构进而构造函数,结合函数的凹凸性与琴生不等式,使得不等式得证.

评注：此证法将不等式问题转化为函数问题,利用函数切线的性质,使得不等式得证.

3.问题变式

分析：此变式是通过改变问题中的分母的幂得到的,证明需要用到权方和不等式和基本不等式,下面给出证明.

分析：此变式是通过改变问题中分母的结构,将问题中分母的两个多项式拆开而得到,通过权方和不等式即可得证,证明思路与上述变式1的证明思路类似.

分析：此变式通过改变问题中分母的幂得到,保持形式不变,证明方法同上述证法1.

4.问题推广

分析：此推广将问题中的条件式子的结果从“1”推广到“t”.

分析：此推广是在推广1的基础上将未知数个数从“3”元推广到“4”元.

分析：此推广是在推广2的基础上将未知数个数从“4”元推广到“n”元.

分析：此推广是在推广3的基础上将各项式子的分子的系数“1”和分母所含的常数 “1,2”分别推广到“γ”和“μ,β”.

分析：此推广是在变式1的基础上,将“3”元推广到“n”元,同时将分母所含的常数“1,2” 推广到“μ,β”.

分析：此推广是在推广4的基础上,改变整个分母的幂得到.

分析：在变式3的基础上,将条件的结果从“1”变到“t”,分子的“1”变为“γ”,同时将“3”元推广到“n”元.

上述推广除了推广5的证明需要用到权方和不等式和基本不等式外,其余推广用基本不等式(的推广)均能得到证明,证明思路与上述证法1是类似的,这里给出推广5和推广7的证明,其余推广的证明不再叙述.

推广7的证明：由基本不等式的推广得