基于“四能”的章末“问题与探究”教学实践与思考——以“向量方法在直线中的应用”为例

钱 健

(南京师范大学附属扬子中学,江苏 南京 210048)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)指出,提高从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力(以下统称“四能”),并将“数学建模活动和数学探究活动”作为教学主线之一.教材章末的“问题与探究”是落实数学探究活动的一个有效抓手.目前“数学探究活动”在课堂实施中往往流于形式,师生重视程度不够,但其现实的重要性和培养学生数学素养过程中的作用是不言而喻的.

在2023年4月江苏省南京市江北新区高中数学优质课大赛暨推荐参加市赛选拔赛中,专家组给出的课题是苏教版《普通高中教科书·数学》(选择性必修第一册)(以下统称“教材”)第一章章末“问题与探究”中“向量方法在直线中的应用”[1].这不仅是对选手教材理解水平的考查,也是对组织学生进行数学探究活动的考查,同时还是落实《课标》教学主线“数学建模和数学探究”的体现.笔者作为参赛选手,尝试从“四能”的角度开展探究活动,以问题驱动思考,充分调动了学生的积极性和主动性,课堂效果良好.赛后梳理成文,与同行交流.

1 “向量方法在直线中的应用”的课堂重现

问题是探究发生的保障,是学习动机生成的本源,有效的探究性学习是建立在问题之上的．因此,在教学环节中应把握时机,精选易激起探究兴趣的问题来组织探究活动,逐渐将数学探究引向深入．本节课从“数学地发现问题—提出有意义的数学问题—分析问题,猜想结论—通过探究解决问题”这4个环节展开.

环节1 用数学的眼光发现问题.

例1 已知直线l过点P(x0,y0),且与直线l1:Ax+By+c=0 (其中点P不在l1上)平行,其中A,B不全为0,求证:直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.

师:确定一条直线需要哪些条件?

生1:一个点与一个方向.

师(追问):如何描述直线方向?

生2:前面学习直线方程时借助斜率、倾斜角来体现方向.

师(追问):还有什么方式也可以描述方向?

生3:向量,由向量的定义知它具备代数和几何双重性质,能体现方向.

生4:直线可以看成带箭头向量的无限延展,因此我认为可以用向量来研究直线.

师:例1中的数学问题如何思考?

生5:可以看成l上任意一点与点P构成的向量与l1平行.

设计意图 依托平面直角坐标系,学生已经建立点与坐标、直线与方程的联系.而作为沟通几何与代数的重要工具——向量,具有代数和几何的双重特征,是沟通几何和代数的桥梁.学生通过方向的描述方式的不同,发现向量在体现方向上的作用,通过引导学生在具体的情境中用数学的眼光思考,发现问题,感受向量的几何代数特征在处理直线问题中的作用.同时“向量方法在直线中的应用”是课堂教学内容的自然延伸,是完善知识体系、丰富知识内涵而提出的.

环节2 用数学的语言提出问题.

预备知识1 直线的方向向量的概念.

预备知识2 直线的法向量的概念.

(内容略,详见教材第41页.)

师:基于例1的问题解决,你能提出哪些问题?

学生提出的问题有:1)在定义的基础上,从形式(x2-x1,y2-y1)出发想办法,直线与方向向量存在什么关系?

2)l1是否可以用某个向量表示?

3)l1用向量表示是否唯一?

4)l1可以用哪些向量来表示?

设计意图 爱因斯坦认为,提出一个问题比解决一个问题更重要.在情境中思考,数学的发现、提出问题是一个伟大发现必须经历的过程,学生经历这个过程是有价值的.

师生活动 学生先独立思考,3分钟后分组讨论,交流;教师巡视,指导,参与学生探究;6分钟后小组代表发言,其他学生提问质疑,小组成员补充.

对于问题1),直线的方向向量可以表示一条直线的方向.

对于问题2),根据定义可以在直线l1上任取不同的两个点M,N构成向量来表示直线的一个方向向量.

对于问题3),由任意性知直线的方向向量有无数个.

问题3)的补充:还可以跳出直线取与MN平行的非零向量作为直线的方向向量.

对问题4)的补充回答:由M(x1,y1),N(x2,y2)是l1上的任意两点,代入直线方程,联立得

A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,

师:这个方向向量直观简洁,这就是数学美的体现.

设计意图 在认识定义后,很自然地需要分析解决:解决什么?如何解决?为什么这样解决?从而引导学生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,并探索发现数学的本质、规律和知识之间的联系.

环节3 用数学的思维分析问题.

探究1 从任意取点找方向向量到l1的一个方向向量(-B,A),这个方向向量与c无关,与A,B有关,能否进一步一般化?

师生活动 把问题抛给学生,直线的方向向量表示直线的方向,而斜率、倾斜角也表示直线的方向,它们到底有什么关系?引导学生从斜率和倾斜角的角度去思考.

生7:从倾斜角的角度,方向向量可以用倾斜角α表示,v=(cosα,sinα)为l1的一个方向向量.

师:真棒!这样就把直线的方向向量、斜率、倾斜角联系起来了.

设计意图 通过直线方向向量与斜率、倾斜角关系的探究,让学生体会直线无数个方向向量中具有代表性的方向向量,感受数学的简洁美.

生8:既然平行直线l1的向量能表示直线的方向,那么我认为垂直直线l1的向量也能体现直线的方向.

探究2 法向量能否体现直线的方向?法向量是否唯一?直线的法向量如何表示?

探究结果 1)由M(x1,y1),N(x2,y2)是l1上的任意两点,代入直线方程,联立得

A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,

联想到向量垂直的运算知(A,B)与MN垂直,即(A,B)为直线的一个法向量.

2)与直线的方向向量垂直的向量均是直线的法向量,因此直线的法向量不唯一.

3)直线l⊥l1,l的方向向量即为l1的法向量,反之亦然.

4)当直线斜率存在时,(k,-1)为其一个法向量,当斜率不存在时,(1,0)为直线的一个法向量;若直线倾斜角为α,则γ=(sinα,-cosα)为直线的一个法向量.

设计意图 通过直线法向量的探究,类比方向向量与斜率、倾斜角关系的探究.学习直线的法向量,让学生体会数学学习中类比的重要性.在探究活动过程中学生独立思考、交流合作,让学生体验探索的过程和成功的乐趣或失败的经历,这都是学科育人的体现.

环节4 用数学的方法解决问题.

师:通过对直线方向向量与法向量的探究,谈谈你会如何解决例1.

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

师:向量的方法还可以研究与直线有关的哪些问题呢?

师生活动 将问题抛给学生,让学生在问题情境解决的活动经验下,独立思考,小组讨论,组内完善,小组代表给出问题和解决方案,其他组的学生可以质疑,教师适时点评.

问题1 已知直线l经过点P(x0,y0),它的一个方向向量为(-B,A)(其中A,B不同时为0),求直线l的方程.

问题2 已知直线l经过点P(x0,y0),它的一个法向量为(A,B)(其中A,B不同时为0),求直线l的方程.

问题3 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同时为0),则l1∥l2的条件是什么?

问题4 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同时为0),则l1⊥l2的条件是什么?

问题5 推导点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)的距离公式.

问题1～4的解决方案可直接借助直线方向向量和法向量解决,这里略去.问题5的解决方案如下:

取l的一个法向量γ=(A,B),在l上任取一点M(x,y),记点到直线距离为d,则

由

又

Ax+By+C=0,

得A(x-x0)+B(y-y0)=Ax+By-Ax0-By0

=-C-Ax0-By0,

即

在问题5解决后,学生纷纷为其鼓掌,突然一位学生说:“我能用向量推导出两平行线之间的距离.”

问题6 推导两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不同时为0,且C1≠C2)的距离公式.

问题6的解决方案如下:

在l1上任取一点M1(x1,y1),在l2上任取一点M2(x2,y2),平行线的一个法向量为γ=(A,B),则

又

Ax1+By1=-C1,Ax2+By2=-C2,

则

设计意图 波利亚认为,学习的最佳途径是由自己去发现、探究,这样的理解最深刻,也最容易掌握知识内在的规律、性质和联系.在厘清定义、解决例1后,学生具备了基本活动经验,这时给学生一个开放性的问题.充分放手,让学生通过独立思考、小组讨论,经历发生、发展和解决问题的过程,让知识运用、方法整合、思维碰撞,从而真正地形成能力.

2 “问题与探究”的教学思考

在教材章末“问题与探究”中,要依据内容和学情,选择恰当的视角开展探究和体验活动,要真正地体现探究性.让学生用数学的眼光发现问题、用数学的语言提出问题、用数学的思维分析问题、用数学的方法解决问题,体现数学与现实的联系,落实数学育人.

2.1 基于整体理解的探究内容分析

数学探究活动作为《课标》和教材的主线之一,是围绕某个数学问题、开展自主探究、合作交流,并最终解决问题的过程;它强调不同知识点的联系和解决问题,目的是启发学生思考,培养数学关键能力.在教材中,正文部分左侧有引发探究活动的“思考”与“问题”,习题部分有“探究·拓展”,章末有“问题与探究”,为学生提供了“课堂学习、课后作业、自主学习”所需要的丰富的探究素材,突出“四能”背景下的问题导向,为学生提供有吸引力的问题、真实的情境与活动,让学生养成用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的习惯.

向量具有代数和几何的双重特征,是沟通几何和代数的桥梁.学生通过学习向量在直线中的应用,感受向量法在处理解析几何中体现出的简洁和直观.“向量方法在直线中的应用”是课堂教学内容的自然延伸,是完善知识体系、丰富知识内涵而提出的.

2.2 基于一般观念的探究内容再加工

数学学科的“一般观念”,是对内容及其反映的数学思想和方法进一步的提炼和概括,是研究数学对象的方法论[2].“一般观念”指导探究内容再加工,旨在学生能自觉地用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出问题;引导学生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,培养学生发现数学的本质、规律和知识之间联系的能力.

“向量方法在直线中的应用”从方向向量和法向量来研究直线及其性质,从突出方程思想转向突出向量思想.为什么要学习向量方法在直线中的应用?从向量的视角研究直线有什么用?对后续的学习有什么指导作用?这些都要求教师对教材中陈述性的新概念和知识进行再加工,创造性地使用教材,形成驱动学生思考探究的活动.

学什么——知其然.直线方向向量和法向量在直线中的应用.

为什么学——知其所以然.用向量来刻画斜率,探求直线方向向量和法向量与斜率的关系.从向量的视角刻画直线中的元素,形成用向量研究直线的新思路.

学了有什么用——何由以知其所以然.通过课题形成几何法研究几何对象的思路:几何问题向量化(数学发现问题)→向量的代数运算(数学分析解决问题)→向量表达几何问题(数学表达问题).

2.3 基于问题链设计的教学主线

问题是课堂教学的心脏.教学中要根据教学内容,立足学生的认知水平设计系统、层次、结构化的问题序列,这就是问题链.问题链有助于学生理解概念、形成技能、领悟思想,同时激发学生的探究热情,让学生主动地进行探究.用问题链来开展“问题与探究”教学,为学生提供脉络化的探究路径,是提高探究能力的一种有效尝试.

在环节2中,为厘清概念,引导学生在具体情境中用数学的眼光观察对象、发现问题,在问题链的驱动下用恰当的数学语言对问题进行抽象、表达.

在环节4中,向量的方法还可以研究与直线有关的哪些问题呢?将问题引向深入,启发学生用数学的思维思考问题,引发一系列的数学问题,形成有层次、结构化的问题,引导学生主动地用数学方法解决问题.

“四能”是数学教学的重要目标,是数学关键能力的体现;基于“四能”开展探究活动能进一步提升学生的数学素养,让探究成为学生的学习习惯.