2023年数学高考试题综合难度比较分析

金燕萍, 潘 欣, 陈碧芬

(浙江师范大学教育学院,浙江 金华 321004)

0 引言

高考是选拔学生进入更高学府学习的重要途径,也是评估学生综合能力的重要工具.而试题合适的难度,一方面,能够确保学生的能力得到准确测量,避免不同类型和区域的学生因试题过于简单或过于困难而导致的评估不准确的问题;另一方面,分析高考试题的难度,有助于教师和学校优化教学方法,使其更符合考试的要求和学生的实际情况.因此,对高考数学试卷进行研究很有必要.综合难度模型是研究高考试题难度的工具之一,武小鹏在鲍建生搭建的综合难度系数模型的基础上,借用专家评分的方式及AHP理论对模型中的权重进行了计算[1].

本文研究基于该综合难度系数模型,对2023年的全国数学新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷及全国甲卷、乙卷进行了统计和分析,包括整体难度比较和各影响因素难度比较两大方面.既关注整套试卷的综合难度,也关注单个影响因素的波动情况和其在综合难度中的占比,利用难度构成偏向的离散系数分析出不同试卷的难度差异主要取决于哪些影响因素.

1 综合难度系数模型

本研究参考了武小鹏等改进后的综合难度系数模型.文献[1]在模型中指出,影响高考数学试题难度的7个因素是背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、思想方法、知识含量、认知水平.整套试卷的综合难度系数是每个影响因素难度的加权平均值,公式为D=∑diki,其中ki表示各影响因素的权重,且ki=(0.4,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83),di表示各影响因素的难度系数,公式为

(1)

其中nij表示第i个影响因素、第j个水平的题目数量,dij表示第i个影响因素、第j个水平的赋值,n表示题目总数.在此基础上将Di=diki表示为各影响因素的难度构成偏向系数.

2 试题难度分析

对6套数学高考试卷分别进行7个因素水平划分赋值,并将所得数据代入难度系数模型(即式(1))进行计算,计算出各因素难度系数及综合难度系数,所得结果如表1所示.

表1 2023年数学高考试卷难度系数汇总

2.1 试题难度整体比较

分别对6套试卷进行试题难度整体比较和各影响因素难度比较.其中试题难度整体比较包括综合难度系数D和难度构成偏向系数Di,并对其分别绘制柱状图和雷达图;各影响因素难度比较包括背景是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平7个方面各水平上的分布绘制折线图,使得试卷从多个角度直观展现其难度,便于进行比较研究.

从图1中可以看到数学高考试卷的综合难度系数由高到低分别为:新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全国乙卷理科、全国甲卷理科、全国乙卷文科、全国甲卷文科.可见新高考的难度要比全国卷的综合难度大.为了直观分析难度各影响因素得分,对难度构成偏向系Di绘制雷达图(如图2).

图1

图2

从图2可以很明显地看到,推理能力和运算水平这两个影响因素占比最大,说明试卷整体上反映的推理能力与运算水平是衡量试卷难度的重要方面.其中推理能力是数学教育最核心的问题之一,在数学的学习过程中起到至关重要的作用[2].《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出要关注数学学科核心素养的形成和发展,其中数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.邱婉珠指出数学运算几乎贯穿于其他3个数学学科核心素养中,是数学学科核心素养的基本成分[3].因此推理能力和运算水平在综合难度模型中占比最大就不足为奇了.是否含参和认知水平的难度构成偏向系数处于中间地位,二者在一定程度上能够影响试题的难度.此外思维方向、知识含量和背景因素这3个因素对试题难度总体的影响并不大.

从图2可以看到,在思维方向、是否含参等因素中6套试卷的难度构成偏向存在较明显的不同.为了更加清晰、准确地刻画这些数据的波动性,笔者利用离散系数(变异系数)来比较数据的离散程度.之所以采取离散系数进行刻画,是因为当多组数据平均值不同或量纲不同时,无法利用方差和标准差来比较它们的离散程度,而离散系数是概率分布离散程度的一种归一化度量,不受异组数据之间量纲差异的影响,适用于比较多个影响因素之间的波动性.其计算方式为

(2)

在式(2)中,(COV)i表示第i项影响因素的离散系数,σi表示第i项影响因素的标准差,μi表示第i项影响因素的均值.我们可以看出,离散系数是一组数据的标准差σ与其相应的均值μ之比,其大小不需要像方差、标准差那样参照数据的平均值,它是一个无量纲统计量,适合多组数据波动大小的比较.根据式(2)可以计算出各个影响因素的难度构成偏向离散系数,结果如表2所示:

表2 各影响因素的难度构成偏向离散系数表(%)

刘继龙将变异系数划分为弱变异、中等变异和强变异这3档[4].从表2可以看到,离散系数的数值也存在明显的3个档次.鉴于此类比上述研究,将各影响因素划分为3个不同的级别:基本无变动的影响因素、变动较小的影响因素、变动较大的影响因素.6套试卷在推理能力和认知水平这两个影响因素上的难度构成偏向离散系数较小,因此将上述两个影响因素定为基本无变动的影响因素.背景因素、是否含参、运算水平这3个影响因素上的难度构成偏向离散系数处于中间,因此将上述3个影响因素定为变动较小的影响因素.而在知识含量和思维方向这两个影响因素上的难度构成偏向离散系数较大,故将上述两个影响因素定为变动较大的影响因素.下文对其进行说明.

2.2 试题各影响因素的比较

2.2.1 基本无变动的影响因素——推理能力和认知水平

图3反映了6套高考试卷在推理能力上占比从高到低分别为复杂推理和简单推理,占比大致保持一致,这说明高考在注重基本推理的基础上,更关注学生复杂推理的考查,这也符合高考本身所处的选拔性考试定位的要求.由表1可知6套试卷在推理能力上的难度由难到易排序为:全国甲卷理科>全国乙卷理科、全国甲卷文科>新高考Ⅰ卷=新高考Ⅱ卷>全国乙卷文科.

图3 图4

图4反映了在认知水平上占比最高的为分析和运用,理解水平的试题相对较少.其中新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷对分析水平的考查较多,对理解层次的考查较少.在认知水平上的难度由难到易排序为:新高考Ⅰ卷>全国乙卷理科>新高考Ⅱ卷>全国乙卷文科>全国甲卷理科>全国甲卷文科.

从总体上看,6套试卷在推理能力和认知水平上的变化差异小,且通过表2的离散系数也可说明:相较于其他5个因素,这两个因素的得分分布范围集中,离散程度低,这也反映出不同高考试卷在推理能力和认知水平上难易程度接近一致.基于上述分析可以推断出,在这6套试卷中的推理能力和认知水平接近,仅凭这两个因素很难反映出试卷的难度差异.造成上述现象的可能原因有:高考根据国家课程标准来评估学生的知识和技能,需要经过严格的标准化程序,确保其公平性和可比性;认知水平和推理能力本身在难度模型中的占比很大,试卷的难度在很大程度上受这两个因素的影响,若不同省份的高考数学卷在这两个因素上水平波动很大,则会影响高考的公平性和可比性;此外,知识水平提供了必要的内容知识,而推理能力则使学生能够有效地应用这些知识并进行批判性思考,在数学试卷中上述两点是必不可少的.因此,6套试卷所要求的推理能力和认知水平趋于一致.

2.2.2 变动较小的影响因素——背景因素、是否含参和运算水平

医保办通过院务会、医保专题会、医保专管员例会、医院信息系统等多种途径和形式，对全院医护人员进行医保政策培训，主要包括对医生医保限制性用药合理使用和自费项目告知等内容的培训，进行医保知识问卷和竞赛，提高全员政策知晓率。

图5反映了在背景因素设置中多为无背景,少为生活背景,基本无科学背景.这说明试题中的情境性比较低,一些富有时代背景的科学技术等情境并没有融入试题当中,如果试题的情境设置仅围绕学科本身,那么就会降低试题的趣味性,发挥不了其核心价值的引领作用.

图5 图6 图7

图6反映了在是否含参因素中,含参试题设置最多的依次为:新高考Ⅱ卷、全国乙卷理科、全国乙卷文科.其他试卷普遍无参数的试题设置多于有参数的试题.在是否含参上的难度由难到易排序为:新高考Ⅱ卷>全国乙卷理科>全国乙卷文科>新高考Ⅰ卷>全国甲卷文科>全国甲卷理科.

图7反映了在运算水平设置上大部分为复杂符号运算,其次为复杂数值运算和简单数值运算,最后为简单符号运算.在运算水平上的难度由难到易排序为:新高考Ⅰ卷>全国乙卷理科>全国甲卷理科>新高考Ⅱ卷>全国甲卷文科>全国乙卷文科.

6套试卷在背景因素、是否含参和运算水平上的侧重变化较小,且通过离散系数也可说明其数据分布较为集中.各影响因素的各水平分布百分比虽然存在变化,但变化局限在一定范围内,反映出试卷难度在这些影响因素中稳中有变、稳中渐变.近些年高考命题改革的重要特征是聚焦能力考查,突出思维品质与创新精神,因此各试卷在试题难度方面强调情境创设与问题呈现方式,改变固化的试题形式,在坚持稳中求进的同时,适当加大试题区分度,增强高考选拔功能.

2.2.3 变动较大的影响因素——知识含量和思维方向

图8反映了6套试卷在知识含量设置上占比从高到低依次为1个知识点、2个知识点、3个及以上知识点,且仅新高考Ⅱ卷存在3个及以上知识点.在知识含量上的难度由难到易排序为:新高考Ⅱ卷>新高考Ⅰ卷>全国乙卷理科>全国乙卷文科=全国甲卷理科>全国甲卷文科.

图8 图9

图9反映了6套试卷在思维方向设置上占比从高到低依次为顺向思维和逆向思维.其中新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷的逆向思维试题占比相较于其他试卷较高.在思维方向上的难度由难到易排序为:新高考Ⅰ卷>新高考Ⅱ卷>全国乙卷文科>全国乙卷理科>全国甲卷理科=全国甲卷文科.

6套试卷在知识含量和思维方向上的侧重变化较大,且通过离散系数也可说明数据分布较为分散,各影响因素的各水平分布百分比变化较大.究其原因是试卷类型使用的地区不同,存在文理分科等现象.比如新高考Ⅰ卷的使用地区是江苏、浙江、福建、山东等教育水平较高的省份,有浓厚的教育底蕴和丰富的教学资源,同时也是推进教育改革、创新教学方式、发展学生核心素养的主力军.因此,学生的整体思维水平较高,为保证高考的公平性,新高考Ⅰ卷中的逆向思维试题占比高于其他试卷.同时因为文理科教学内容的差异,理科试卷的整体知识含量与思维水平与文科有显著差异,这两个因素在试卷难度中变动较大,也反映出高考命题编制需考虑到不同地区的经济发展水平与教育资源问题,以确保高考的公平性.

3 结论与建议

3.1 结论

从总体上看,6套试卷总体难度由难到易为:新高考Ⅰ卷>新高考Ⅱ卷>全国乙卷理科>全国乙卷文科>全国甲卷理科>全国甲卷文科.试卷总体难度的影响因素中,推理能力与运算水平占比最大,最能够影响试卷的难度.从另一个角度看,知识含量和思维方向又是6套试卷在试题设置中各水平变动较大的影响因素.综上所述,占比较大或者说权重较大的影响因素在很大程度上决定了试卷本身的难度,而离散系数较大或者说变动较大的影响因素决定了试卷与其他试卷的难度差异.

新高考更加注重对学生逆向思维的考查,在认知水平、是否含参、运算水平等多个影响因素中的难度得分普遍较高.由此可见新高考更加注重题目的系统性和综合性,既关注基础知识的考查,又能够开拓学生的思维,达到选拔人才的目的.

3.2 教学建议

结合对2023年6套试卷的难度分析,笔者提出以下教学建议:

1)关注学生思维品质,适当拓展开放型和探究型问题.

统计结果显示,6套试卷在推理能力和认知水平上基本无变化,且整体来说这两项因素的难度系数都比较高,因此在教学中教师要继续注重对学生认知水平、推理能力的培养,引导学生独立思考、敢于质疑,把握问题本质.由图6可以看出,高考试题越来越强调含参试题,尤其是全国甲卷理科,含参试题的占比已经比无参数试题的占比高出30%,说明高考试题在保持推理能力和认识水平稳定的情况下,越来越关注探究型问题,这也符合《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)中强调数学命题要设置开放性问题和探究型问题,要特别关注学生的思维品质的形成的要求[5].因此,在教学中教师要启发学生多角度、多层次开放式地思考问题,可以对问题进行变式,如将问题中的常数变成含参的量,让学生探究变化中的不变,或者将封闭问题改编成开放问题,从条件、解题策略和结论等多方面让学生进行思考探究.对于难度较大的问题,可以参照国外题目设置的特点,重视问题设计,采取低起点、小坡度、逐步拓展延伸的方式,帮助学生理解所需要探究的问题,激发学生的探究热情.

2)关注情境创设,丰富情境类型.

情境是培养核心素养的重要载体.在重视情境创设的同时,《课标》中还提出要注重情境的多样化与多层次的要求.统计发现,虽然2023年高考试卷背景因素变动较小,还是以无背景和少量生活背景为主,但是新高考Ⅱ卷和全国甲卷文科已经适当提高科学情境的试题占比,以丰富试卷情境类型.由此分析可看出,多样化、多层次的情境创设是教学中需要重点研究的问题,良好的情境创设不仅可以促进学生思考,避免思维定式,也丰富了学生对相应数学知识的理解和应用.因此,在教学中设置问题情境时,教师不应仅局限于教材和教辅资料,而是要深入分析和研读《课标》,根据教学目标与学生认知适当丰富和拓展教材情境,在导入、新知探究、巩固应用等环节创设有效的情境.同时积极与同学科的教师进行交流,反思一些情境的创设是否发挥了应有的作用,如何修改才能更有效地激发学生的思考与兴趣等问题;并且尝试与其他学科教师合作,挖掘不同类型的情境素材,促进学生利用跨学科知识去分析、解决问题.

3)关注知识单元衔接,加强逆向思维的培养.

《课标》指出,要“适当增加试题的思维量”“重点考查学生的思维过程”“强调综合性”.在上述的分析中思维方向、知识含量属于变动较大的影响因素.由于教育资源分布不同、文理分科等现象的存在,不同的学生本身的思维水平不同,培养手段也相应存在差异,综合运用相应知识解决问题的能力也有所区别.但逆向思维能够帮助学生更加深入地理解数学概念和原理,提高数学解决问题的能力,可以有效地促进学生的创新思维和探究精神.同时也要重视不同单元知识间的联系,蕴含不同单元知识点试题的解决有助于学生构建紧密的知识网络,加强知识之间的联系.教师在教学的过程中可以适当增设一些需要用逆向思维去解决的试题,增加试题所蕴含的知识单元内容.例如,教师可以逆用数学公式、举反例、倒推法及反证法等帮助学生从不同的角度审视问题,鼓励学生从创新的角度思考问题并对问题进行深入分析.