由一道中考压轴题引发的思考

安徽省和县第一中学 马鞍山市和县徐祝云名师工作室 徐祝云 (邮编:238200)

下面是安徽省2023年中考数学压轴题:

在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴为直线x=2．

(1)求a,b的值;

(2)已知点B,C在抛物线上,点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．

(ⅰ)当0

此题的第(2)小题是围绕抛物线与直线相交所得的“抛物线弓形”内部有关多边形的面积设问的,下面谈谈对这类问题的一些思考．

1．第(ⅰ)问中,求出的结果为定值,这是巧合,还是必然,有没有一般性的结论?

2．当点B和C都在线段OA上时,四边形BCED的面积何时取得最大值,结论是否可以推广为一般情形?

这类最值问题,在各地的模考试题中经常见到,容易求得在t=1时,四边形BCED的面积最大,此时,点B和C显然是线段OA的三等分点．将其作一般化的推广如下:

推广1C和B的横坐标之差△t为定值,四边形BCED的面积何时最大?

结论2一条抛物线与一条直线交于点O和A,点B和C在线段OA上(点B靠近点O),过B和C分别与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于点D和E,若BC长度为定值,则当且仅当BC的中点与OA的中点重合时,四边形BCED的面积最大．

推广2C和B为线段OA上任意两个点时,四边形ODEA的面积何时最大?

如果设点B和C的横坐标分别为m和n,然后将四边形ODEA的面积表示为m和n的二元函数,再用主元法,这样虽然可以求解,但计算较为繁琐．为此,我们先考虑一种简单的情形:

结论3一条抛物线与一条直线交于点O和A,点B在线段OA上,过B与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于点B′,则当且仅当B为OA的中点时,△OB′A的面积最大．

结论4一条抛物线与一条直线交于点O和A,点B和C在线段OA上(点B靠近点O),过B和C分别与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于点B′和C′,则当且仅当点B和C为线段OA的三等分点时,四边形OB′C′A的面积最大．

证明(反证法)假设四边形OB′C′A的面积最大时,点B和C至少有一个不是线段OA的三等分点,则OB=BC与BC=CA至少有一个不成立．不妨先假设OB≠BC,取P为线段OC的中点,即OP=PC．过点P作与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于点P′,则由结论3可知S△OP′C>S△OB′C,从而S△OP′C+S△OCA>S△OB′C+S△OCA,即S四边形OP′C′A>S四边形OB′C′A,这与四边形OB′C′A的面积最大矛盾,所以假设不成立,故OB=BC．同理可证BC=CA．所以,当且仅当点B和C为线段OA的三等分点时,四边形OB′C′A的面积最大．

在此基础上,同样用反证法,还可以证明出更为一般性的结论:

上述思考是对一般抛物线都成立的一些性质,采取适当建立平面直角坐标系的方法,将其中的抛物线转化为开口向下的情形．为简化计算,将坐标系原点取在抛物线与直线的一个交点处(即点O),这是运算素养的一种体现．因为在坐标系中开口向上或向下的一般抛物线y=ax2+bx+c,由三个系数a,b,c决定,直线y=kx+m由两个系数k,m决定.如果坐标系建立不当,参数较多,计算就会变得复杂．从命题的角度来说,命题者应该是关注到了这些一般性质,并对参数进行了合理控制,使得试题不超出初中课程标准的要求．

第(2)小题的第(ii)问规避了对四边形面积最值的考查,而是针对四边形的顶点顺序可能发生变化进行分类讨论．一方面,第(i)中给出t的范围,实际上是对第(ii)问的一种提示,告诉考生要将题中给的位置表示转化为用数值变量表示;另一方面,对于各种情况中四边形面积的计算,只要搞清楚其中一种情形,其余的都是在该情形下适当修改,这也是数学运算素养的体现．另外,本题的分类讨论以及其中对各种情况的检验、取舍,体现了对数学推理能力、数形结合思想等都进行了较好的考查．

本文中各结论的证明过程中用到的知识,都是不超过初中范围的(要求显然是高于初中课程标准要求的),对水平较好的初中生来说,是可以看懂的．还可以再进一步思考,比如,在结论2中,当B和C是线段OA上任意两点时,四边形BCED的面积何时最大?这样的问题的解决,仅用初中知识就不够了,留给读者自行思考．