例说分类讨论思想在解答函数问题中的应用

汤蕴慧

分类讨论思想是数学中的一种重要思想方法和解题策略，在解答函数问题中也有着广泛的应用.对此，笔者就函数问题中的分类讨论思想的应用方法进行了剖析，以期对同学们解答函数问题有所帮助.

一、因函数的增减性不确定需分类讨论

增减性是函数的一个重要性质.在比较函数值的大小，解不等式或求函数最值等函数问题中，常常需要借助函数的增减性.然而有的函数解析式中含有参变量，具有不确定性，无法直接明确函数的增减性，此时同学们要注意根据参变量的情况，对函数的增减性进行分类讨论.

例1

分析

解

评注：函数增减性的确定与自变量前面系数的符号有密切关系.在正比例函数y=kx（k≠0）与一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k>0时，此时y随x的增大而增大；当k<0时，此时y随x的增大而减小.

二、因函数的类型不确定需分类讨论

初中阶段的函数问题主要涉及到一次函数、反比例函数和二次函数.若题目中未指出函数的类型，而函数中最高项系数是含字母的不确定代数式，则要注意根据参变量的取值情况，对函数的类型进行分类讨论，全方位思考问题，从而避免漏解.

例2已知函数y=（4-k）x2+4x+k与坐标轴只有两个交点，则k的值为.

分析：本题函数类型不明确，当4-k=0时，即k=4时，该函数为一次函数，它与坐标轴有两个交点；当4-k≠0时，即k≠4时，该函数为二次函数.若△=0，此时抛物线与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；若图象经过原点，此时抛物线与坐标轴也有两个交点.所以，要想求出k的值，需要先进行分类讨论.

解：

評注：本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与坐标轴交点的情况.由于题中没有直接指出该函数是一次函数还是二次函数，因此解答时需用分类讨论思想对字母系数的取值情况展开讨论，然后确定函数的类型.

三、因函数图象的位置不确定需分类讨论

我们可以根据函数解析式得到函数图象，但函数解析式中的系数不确定，则函数图象在平面直角坐标系中的位置也将不明确.一般地，若题目没有提供图形，而根据题意，图形的位置又有多种可能，为了避免出现漏解的情况，就要求我们根据题意对问题进行分类讨论来解答.

例3已知一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为15，且过点（0，5），求该一次函数的解析式.

分析：根据题意，画出草图，如图所示，很容易看出一次函数图象与两坐标轴围成的三角形可能是△MOP，也可能是△NOP，因此需要进行分类讨论.

解：

评注：由于题中一次函数与坐标轴所围成的三角形的位置不确定，因此需要利用分类讨论思想对所围成三角形的位置情况予以分析，全面考虑，这样才能保证解答的完整性.