说题，探寻课后作业新形式——以“圆柱的练习”为例

江苏省南京市科利华小学 郑尧伟

一、案例背景

“双减”背景下，优化课后作业的形式和内容，成为教师关注的重点。课后作业承担着有针对性地巩固学生课内所学，科学提高学生思维能力的任务。课后作业的设计既要减轻学生的学业负担，也要发展学生的思考力和创造力。说题作为一种有效的课后作业形式，能够培养学生的数学表达能力，让思维可视化。笔者以一道练习题为例，谈谈说题的准备和具体步骤。

二、案例描述

“圆柱的练习”作为一节练习课，主要是让学生巩固圆柱体积的计算方法，体会灵活运用圆柱体积公式解决实际问题的过程，从而提高学生的分析、比较和推理能力，培养学生初步的空间想象能力，发展其空间观念。而学生已经了解了圆柱的基本特征，圆柱的侧面积、表面积和体积的计算方法。教师选择以这节课的题目来说题，让学生用思、说、评的方式代替机械单调的练习，使作业具有了挑战性和趣味性。所以，课后说题不仅可以提高学生的参与度，避免教师过多的讲评，还有利于调动学生学习的积极性。因此，笔者选择利用单元题卡了解学生的实际掌握情况，确定说题方向，选择说题内容，设计说题步骤。

（一）确定说题方向

利用单元题卡了解学情，确定说题方向。单元题卡包含四道题，分别考查圆柱的底面积、体积和表面积等内容。从完成的情况来看，学生基本能掌握圆柱的底面积、体积和表面积的计算方法，大部分学生能掌握知识点单一、与例题同类型的题目，而正确率较低的是属于灵活运用范畴的一道题目。

设计意图：教师要处理好讲授与学生自主学习之间的关系。受知识有限、解题能力不足、逻辑思维有待进一步发展的影响，有难度的题目往往集中在一类或几类问题上。而通过单元题卡，教师可以了解学生的学习难点，确定说题方向。

（二）选择说题内容

题目：在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时，水面上升9厘米；把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。

从完成的情况来看，单元题卡中的这道题对学生来说普遍有难度，难度分为不同层级。层级一，读不懂题目的意思，对解决问题没有头绪；层级二，能理解情境中的数量变化过程，但无法厘清问题中的数量关系；层级三，知道题目中包含的条件和数量关系，但是不知道如何解决问题。

师：这道题难在哪里？和其他题目有什么不一样？

生：其他题目运用公式就能算出结果，这道题太复杂，把圆柱形钢材放入水中，水面上升，把钢材拉出水面一定高度，水面又下降，不知道从哪里开始解决。

设计意图：题目的选择要有代表性和普遍性。具有代表性的题目是指那些能体现通法通解的题目，是大部分学生存在困难的题目，是能启迪学生思维的题目。教师要聚焦问题，选择合适的内容，从而让学生通过说题掌握规律，举一反三，有效地发展数学思维。

（三）设计说题步骤

说题步骤，为学生课后说题提供了脚手架，也让题目解决的过程可视化。教师通过具体步骤，可以发展学生分析、比较、推理的能力，提高学生解决问题的能力，培养学生的数学思维。说题步骤具体分为：理解问题—分析问题—解答问题—问题归类—整理反思。

1.理解问题，梳理关系

画一画：画出圆柱形钢材全部放入水中的过程。

水面上升，上升的水的体积相当于钢材的体积。把钢材拉出水面的过程，下降的水的体积相当于拉出水面的这部分钢材的体积。已知条件有圆柱形钢材的底面半径为5厘米，此时，水面上升的高度为9厘米；拉出水面的高度为8厘米，此时，水面下降的高度为4厘米。要解决的问题是这段钢材的体积。

理解问题是审题的过程，学生在梳理问题的过程中，不断解读题目中的条件和问题。对问题的理解，不仅是要读懂题目表达的意思，而且要将问题转化成易于理解的形式。题目描述了两个过程，将钢材放入水中和将一部分钢材拉出水面的过程。教师可以让学生用示意图将其表示出来。用文字表述的题目是抽象的，但将文字转化成形式，用图形表征条件和问题，就可以使抽象的文字变得形象，降低学生思维的难度，这样才有利于学生找到数量关系。

2.分析问题，突破难点

想一想：从出发点来看，小学阶段解决问题的方式有两种——从条件出发和从问题出发。从条件出发，就是由已知条件展开推导得到一些信息，看看得到的信息中哪些信息对解决问题有用。对解决问题有用的信息，往往就是解决实际问题的突破口。从问题出发，就是要知道问题的解决需要哪些信息？要想得到这些信息，往往要根据已知条件找到解决问题的突破口。

师：解决问题可以从条件出发，也可以从问题出发。先从条件出发能知道哪些信息呢？谁来分析一下钢材放入水中的过程？

生：我们知道钢材的底面半径，但是不知道钢材的高度，所以，只通过钢材放入水中的过程是不能得到钢材的体积的。

师：钢材拉出水面的过程呢？能知道哪些信息？

生：钢材拉出水面8厘米，还知道钢材的底面半径是5厘米，可以求出这部分钢材的体积，是52×π×8。

师：在钢材拉出水面的过程中，下降的水的体积相当于拉出水面的这部分钢材的体积，这个等量关系就是解决这个问题的突破口。这部分钢材的体积求出来了，能知道更多的信息吗？

生：那就知道了下降的水的体积，用体积除以4厘米，就算出了水的底面积。

师：水的底面积就是储水桶的底面积。从条件出发，我们得到了这么多信息。接下来从问题出发，看看需要哪些信息才能算出这段钢材的体积。

生：要知道钢材的高度才行。

师：不知道钢材的高度，就不能直接求出钢材的体积。钢材全部放入水中的过程，也有等量关系，该如何利用呢？

生：上升的水的体积相当于钢材的体积，用水的底面积乘高度9厘米，求出上升的水的体积，就是钢材的体积。

至此，学生通过分析问题，发现题目中不仅包含四个条件，还存在两个等量关系。水桶和钢材都是圆柱体，钢材被全部放入水中时，上升的水的体积相当于钢材的体积；钢材被拉出水面时，下降的水的体积相当于拉出水面的这部分钢材的体积。所以，分析这道题，要先从条件出发，再从问题出发。先从条件出发，可以利用等量关系得到信息，筛选其中对解决问题有用的信息，再从问题出发，找到解决这道题必须知道的信息，及时利用等量关系将问题转化，间接求出这段钢材的体积。学生利用理解问题时得到的条件分析问题，养成从条件出发或从问题出发的解题习惯，找到突破口，让解题思路逐渐变得清晰。这样的学习习惯可以为后续构建解决问题的框架、培养建模思想做铺垫。

3.解答问题，明确思路

列一列：列出解题过程，明确每一步的含义。

师：解决这道题，要先算什么，再算什么？

生：先算出拉出水面部分的钢材体积，52×π×8=200π（立方厘米）。

师：这部分体积就相当于下降的水的体积。再算什么？

生：用水的体积和水面下降的高度，算出水桶的底面积，200π÷4=50π（平方厘米）。

师：这段钢材的体积和上升的水的体积有什么关系？

生：它们是相等的，只要求出上升的水的体积，就能求出这段钢材的体积。

师：怎样才能求出上升的水的体积呢？

生：通过将钢材放入水中的过程，知道水面上升了9厘米，可以算出上升的水的体积，50π×9=450π（立方厘米）。

师：谁来总结一下，我们是如何一步步算出这段钢材的体积的？

生：先求出拉出水面的钢材的体积，这部分钢材的体积相当于下降的水的体积，再求出水桶的底面积。钢材放入水中时，上升的水的体积相当于钢材的体积，最后根据底面积和高求出水的体积，这就是钢材的体积。

（师板书，并呈现思维导图）

解答问题，不只是算出结果，更重要的是要结合对问题的理解和分析，明确先解决什么，再解决什么。理解问题和分析问题为解答问题做了充分的准备，教师稍加点拨，学生便知道先求什么，再求什么。思维导图可直观展示思考的过程，帮助学生建构解决问题的模型，从整体上感知问题的解决。高年级学生已经具备了一定的抽象思维能力，拥有分析和推理的能力。在说题的过程中，教师可以根据学生的认知特点，渗透转化思想，有意识地引导学生将复杂的问题转化成简单的已知问题，帮助学生利用突破口找到解决问题的最优方法。

4.问题归类，建构模型

变一变：在一个底面半径为10厘米的圆柱形玻璃缸中，水深8厘米。现在要在缸中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块（水未溢出）。把铁块放在水中，那么，水面会上升几厘米？

师：你想怎样解决这道题？

生：从条件出发，可以算出玻璃缸里水的体积为π×102×8=800π（立方厘米），铁块的体积为8×8×15=960（立方厘米）。从问题出发，把铁块放入水中，上升的水的体积等于铁块的体积，用铁块的体积除以玻璃缸的底面积即“960÷（π×102）”，就可以求出水面上升了几厘米。

师：这位同学结合刚刚分析问题的方法，先从条件出发，再从问题出发就解决了这道题。你们的想法和他一样吗？

生：如果竖着放进去，铁块有一部分是露在外面的。他考虑的只是横着放进去的情况。

师：横着放进去，铁块被水完全浸没，竖着放进去，铁块有一部分露在外面，怎么解决呢？

生：这时，实际上的底面积是玻璃缸的底面积去掉铁块的底面积。还是抓住浸在水中的铁块的体积等于上升的水的体积，用水的体积除以实际上的底面积得到实际高度，再减去原来的水深就能得到水面上升的高度。

师（小结）：解决这道题要分两种情况：一种是横着放进水中，铁块被完全浸没；另一种是竖着放进水中，这时，铁块有一部分是露在外面的。看来有些问题要考虑全面，才能利用分析问题的方法来解决。

作为一道变式题，理解问题、分析问题和解决问题的过程与原题十分相近，不同的是，问题中隐藏了另一种情况，而学生容易考虑到横着放的情况。教师还需要引导学生将思路迁移，考虑竖着放的情况，进而将问题归类，发展学生用一种思想解决一类问题的意识，培养学生的迁移能力和建模意识。

5.整理反思，提炼总结

理一理：回顾刚刚的说题过程，我们是如何解决问题的？在解决问题的过程中，你有什么体会？对于以后的学习有哪些启发呢？

梳理说题的过程，可以让学生从整体上把握题目，回顾解决问题的环节。学生通过回顾，体会理解问题和分析问题的必要性，在解答问题的过程中体会思维导图的重要性。教师通过问题归类，培养学生的建模意识和知识迁移能力。整理反思是说题的最后一步，旨在培养学生提炼总结、归纳整理的能力。

课后说题，通过确定说题方向，了解学生的难点；选择说题内容，聚焦具体的问题；设计说题步骤，为说题提供脚手架。学生应在说题过程中梳理关系，突破难点，提高知识迁移能力，发展建模意识。说题不仅优化了课后作业的内容，还丰富了课后作业的形式。同时，学生在说题过程中发展了表达力、思考力，体会了学习的价值。