初中平面几何中逆向思维的探究

许娜

【摘要】虽然平面几何一直在初、高中数学知识中占有很重要的位置，也深刻地改变了学生思考的方式，但是在实际课堂上和指导学生解题的方式中，教师大多都是使用较为传统的顺向思路的方式指导学生，而极少使用和学习逆向思维，如数学里面反证法的讲解就在逐渐地淡化.但往往在复杂的数学求解问题时，如果人们从逆向思考开始，就能够发现一种别样的方法.这不但可以更精妙地处理数字上的许多现象，对于学生的逻辑思维的提升开发也将产生非常大的影响.

【关键词】平面几何；勾股定理；逆向思维

1 平面几何相关公式中的逆向思维能力

例1 如图1、图2所示为直角三角形，求b、c的长度.

此题目的为勾股定理的运用，主要考查学生通过合理的逆向思维，对数学公式进行变形，使学生解题变得更加简单.

解 （1）b=12；（2）c=10.

分析 （1）因为由勾股定理可知a2+b2=c2，

所以b=12.

（2）由勾股定理可知a2+b2=c2，

所以c=10.

2 平面几何相关定理中的逆向思维能力

例2 请给出原命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并证明.

解 原命题的逆命题是“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”.

证明如下 如图3.

所以AD=CD=BD，

因为AD=BD，所以∠ABD=∠A，

因为CD=BD，所以∠CBD＝∠C，

又因为∠ABD＋∠CBD＋∠A＋∠C＝180°，

所以2（∠ABD＋∠CBD）=180°，

所以∠ABD＋∠CBD=90°，

所以∠ABC=90°，

所以△ABC是直角三角形.

通过勾股定理和逆定理的学习，我们可以了解原命题和逆命题之间的转化，其根本就是运用了逆向思维的原理.而初中数学中的反证法其实质也恰恰就是对逆向思维的合理运用，它可以很巧妙地证明数学中很多我们很难证明的命题.

3 平面几何相关实际问题中的逆向思维能力

例3 图4是公路上一涵洞入口的平面直角坐标示意图，点A和D、点B和E分别关于y轴对称，涵洞的弧顶部分BCE可看作抛物线，最高点C离路面AD的距离为8m，点B离路面AD的距离为6m，涵洞宽AD为16m.

（1）求涵洞顶部BCE对应的函数表达式；

（2）现有一辆宽为4m货车在装载货物后，货物顶部离路面高为7m，请说明此货车能否安全通过这个涵洞？

解 （1）由已知OA=OD=8m，OC=8m，AB=6m.

故C（0，8），B（-8，6）．

设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，

将B点坐标代入，得6=a（-8）2＋8，

（2）假设这辆货车能在从涵洞正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2m，如图4.

设抛物线上横坐标为2的点为F，过点F作FF1丄AD于点F1，

由于此题涵洞不仅限制宽度，还限制高度，所以对于货车是否能通过涵洞，我们可以打破常规思路，按以下方法思考.

思路一 根据此货车的高度，求出在此高度下涵洞的宽度，即把高度带入ｙ中，若求出ｘ的值在数轴上的宽度大于货车的宽度，那么货车就可以安全通过，反之就不能通过.

思路二 根据货车的宽度，求出在此宽度下涵洞的高度，如果求出的高度大于货车的高度，就可以安全通过.

因此解决本题时，我们不仅带着问题回到题目中，还巧用了题目中的两个量.所以我们在解答题目时，要多做一些逆向的考虑，打破原有的常规思路，不是从已知去找寻未知，而是要带着未知找寻已知.这样学生的思路就不会变得单一，思维也会更加灵活.

4 结语

逆向逻辑思维是数学教育思维中最关键的思维能力一种，而平面几何中反逆逻辑思维的训练也必不可少，而逆向逻辑思维对于平面几何的教学也具有非常关键的意义，二者是相互促进的.

学生的初中阶段是智力水平发展的重要阶段，因此在平时的數学教学活动中，我们应该重视对学生逻辑思维能力的培养，注重学生的长远发展，而不是注重应试教育.随着社会的不断进步和发展，逆向思维的作用也将逐渐得到重视，运用也将越来越广泛.

参考文献：

[1]李亚梅.逆向思维在初中数学解题中的应用[J].数理天地（初中版），2023（01）：18-19.

[2]朱倩芸.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略[J].天津教育，2022（33）：49-51.

[3]王凯.逆向思维分析法在初中平面几何辅助线中的运用[J].现代中学生（初中版），2022（08）：35-36.

[4]龚爱峰.初中数学解题教学中逆向思维的应用[J].读写算，2021（28）：155-156.