大概念视域下初中数学复习课的设计策略

【摘 要】本文在研究了当下初中数学复习課的常见问题后，提出复习课未必在章末建构且覆盖知识未必全面的设计思路，认为大概念视域下的初中数学复习课教学要以高阶视角、整体观念进行精准施教，随后呈现确定教学目标、设计课堂问题、渗透数学思想、流向思辨精神等复习课设计策略，并以理论与实践相结合的形式进行具体阐述。

【关键词】复习课；大概念；二次函数；教学设计；结构化

一、引言

复习课是帮助学生将某一阶段内的知识系统化、结构化以巩固学习成果的课型，能弥补新授课中因时间、容量等因素限制而导致的教学不足，一般以发展学生思维水平，提升学习质量为主要目的。然而，笔者研究相关文献发现，目前大多数复习课的教学样态以概念梳理、例题讲解、随堂练习等形式为主。顾继玲和章飞通过研究某省初中数学青年教师基本功大赛的39份章复习课教学设计，指出复习课存在的主要问题有知识结构呈现偏直线式，变式问题类型有所欠缺，拓展性问题不够丰富等，建议教师要充分考虑学生的学情，基于章节特征选择适切性的教学形式，由新问题引导学生产生串联旧知的新思考，充分发挥学生的主体性。［1］曹燕萍梳理了当下初中数学复习课较为突出的三个问题：一是复习内容贪多求量，习题层次设计缺失；二是复习形式贪图安逸，教学样态创新缺失；三是复习过程贪快求速，学生主体地位缺失。因此她认为复习课若是变成了“炒冷饭”，那么借复习课重构学生的知识与观念便无从谈起了。［2］张东在分析课标的基础上，发现很多教师存在培养学生发现和提出问题并非复习课任务的错误观念，只关注分析问题和解决问题，未能充分利用好复习课发展学生的“四能”，实现教学效能与育人目标的全面提升。［3］笔者根据自身的教学实践也发现，很多复习课是将整章的知识、概念聚集到一起，有种“一锅端”的混乱感，这样的复习课不仅会增加学生的学习焦虑，使学生产生畏惧心理，而且无法带来新的收获。

大概念视域下的复习课教学以立德树人为宗旨，以学会学习为目的，以高阶视角、整体观念统领学生的已有知识经验与实际认知水平，在此基础上进行精准施教，帮助学生找准思维盲区，力求从全新角度切入，吸引学生的复习心向，通过知识再建构帮助学生突破思维障碍，进而克服当下复习课教学中学生体验感差、结构关联度弱、问题聚焦域窄、形式创新性不足等现实困境。

二、对初中数学复习课设计方式的思考与价值探寻

（一）复习课并非章末建构的特权

复习课一般安排在某一章知识学习结束后，苏科版教材中就专门设有一节“小结与思考”以归纳全章内容，但这显得过于刻意，似乎复习课一定要在规定的时间、确定的节点开设。事实上，有些知识仅靠新授课教学是无法达到深层次理解的，凭碎片化的认识更是无法看到知识的全貌，因此复习的内核在于帮助学生突破隐蔽的思维困惑，唤起学生对已学知识的审视与质疑，从而拓宽认知事物的渠道和看待问题的视野。从这个角度看，复习课是随机的、有时效性的，所以开设复习课的时机应该是不确定的，可以根据学情、教学进度、评价反馈等现实因素做及时调整，未必一定要设置在章末，可由学生的认知需求决定。当然，随机性便意味着挑战性，教材中没有对应的复习教学设计供教师参考，这对相当一部分一线教师来说并非易事。

（二）复习课的覆盖面未必广而全

当下很多教师容易走进一个误区，即认为检验一节复习课好坏的标准是知识的覆盖广度，教师们会将自己认为重要的概念、性质尽可能地往复习课里“塞”。在很多公开课中，常常可以看到教师借助思维导图梳理一章的概念，通过可视化图式将知识“一网打尽”。这种做法有可取之处，即能通过横纵多维的建构让章结构逐渐清晰、明朗，起到提纲挈领、整体关联的作用，但当重复的内容大量、快速涌入学生的大脑时，学习的效果一定不会像初学时那样高效，此时如果教师不站在一个独特的角度进行高位设计的话，学生很容易感到思维疲乏。其实复习课未必要面面俱到，完全可以从一个小切口唤醒学生新的思考与质疑，这个切口未必依赖于具体知识，可以是在旧知中寻求解决新问题的办法策略，进而在解构与重塑中建立起对知识更加深刻且全面的认识。

三、大概念视域下初中数学复习课的设计策略

（一）以大概念确定立足高阶思维的教学目标

教学目标是关于教学将使学生发生何种变化的明确表述，是指在教学活动中期待得到的学生的学习结果。复习课教学活动的设计要以目标为导向，围绕教学目标进行。虽然教学参考用书中每一章的小结与思考都会给出一些具体的复习建议，但对于可以在任意时刻开展的复习课而言，教学参考用书中是没有对应参照的，因此需要教师结合学生掌握知识的实际情况，权衡复习内容的难度、跨度、相关性等因素，自行制订有针对性的复习目标。大概念相当于一个车辖［4］，是统领阶段性知识的上位概念，具有抽象性、普适性等特点，同时还体现出鲜明的学科特征与较强的迁移性。复习课应在学生对所学知识形成全面认识的基础之上，借助大概念将思维锚点置于高阶视角，帮助学生重新构建知识体系，从而实现思维进阶。

笔者剖析二次函数图象研究的结构逻辑，发现二次函数本身属于代数范畴，但二次函数图象又附带着一些几何属性，这就为构建二次函数的图象与性质的知识体系埋下了两条线：一是图形的运动，二是代数式的结构特征。这或许可以成为二次函数的图象与性质复习课切入的全新视角。教材是从几何变换入手的，按照由简至繁的顺序层层推进，由简单的一维平移到复杂的二维平移，逐渐揭示出二次函数表达式与图象之间的关系。那么，如果沿着代数这条线研究，应该如何对探索路径进行设计呢？这条路径是否可行呢？这样的思考为本节复习课明确了一个研究主题，也使得复习有了新的探索方向。这一方向中包含了路径建构、数学分支、方案设计与验证、分类意识、数形结合等五个大概念，当教学目标指向这些大概念时，复习课的思维层级便是向上走的，有宏大、稳固的概念框架支撑，有明确的任务驱动与评价维度，学生在这样的目标预设下不仅不会感到疲惫，反而能感受到课堂是充满挑战的。基于此，本节复习课的教学目标设定为：（1）回顾二次函数图象性质的建立过程，体会从简单到复杂的几何研究路径；（2）从代数视角重新设计研究二次函数图象与性质的方案，并对设计方案的可行性进行验证；（3）能根据二次函数的系数关系预设图象的形态特征，感受分类讨论、数形结合的数学思想。

（二）以大概念设计引向高远视角的课堂问题

复习课具体应该怎么上，在复习课中设计怎样的问题可以将课堂逐步引向高阶思维的发展，这是在依据大概念确定教学目标后需要进一步思考的问题。杰罗姆·布鲁纳（Jerome Seymour Bruner）在《教育过程》中提到，我们很容易问一些无价值的、无法回答的困难问题，但关键是要找到可以解答的、有启发性、能起到媒介作用的问题。基于大概念设计课堂问题，有利于教师与学生形成基于教学目标的学科理解，从而使问题成为触发学生达成目标的介质与“导火索”。另外，弗兰克·莱曼（Frank Lyman）说过，教育应该是一种痒的状态，而不是挠的动作。复习课一般是已学知识的重复，很难从内容本身吸引学生的注意力，所以唯有充分激发学生的好奇心，以大概念为触点引导学生提出批判与质疑，才能揭示出更多的问题，从而培养学生针对一个问题得出各种不同答案的能力，即发散思维的能力，或是针对一个激发因素，产生大量不同寻常的联想的能力，即流畅构思的能力［5］，使得学生透过现象看到问题的本质。

由于学生此前已经学过了二次函数图象的相关知识，所以在复习课中不可能让学生假想知识空白，像初学者那样从头开始探索，教师应基于这一实际情况进行问题与活动的设计。在本节复习课中，笔者先引导学生以旧视角回顾二次函数图象的研究过程，从路径建构的大概念角度思考之前是如何研究二次函数的图象与性质的。学生回忆后发现先是从最简二次函数y＝ax2的图象入手，分阶段进行上下、左右平移，最后将这两种平移方式叠加，得到了二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的图象。由于a能控制开口方向与大小，平移后图象又可处于平面内的任何位置，所以二次函数的顶点式图象能代表所有二次函数图象。紧接着，笔者再次提问，“初中数学包含哪几大分支？”“你能从标题‘二次函数的图象与性质’中感受对应的关键词吗？”“你能从代数视角研究二次函数的图像与性质吗？”等问题启发学生从代数角度带着新意重拾旧知，从路径确定、方案设计与验证等角度对知识进行再建构，紧扣大概念中与教学目标相关的问题，将思维层级由具体的、单一的对二次函数图象与性质的思考迁移到抽象的、发散的对函数宏观研究的整体认识中去。图1是该复习建构过程的思维导图。

这些问题的提出能够帮助学生将零碎的单元知识加以整合，在大概念的统领下与过往的知识对接，进而展开更多的联想以寻求同一内容主题在不同学科领域的思维足迹。学生在这样的状态下能始終保持对知识的好奇心与神秘感，复习便会起到事半功倍的效果。

（三）以大概念渗透指向高位理解的数学思想

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，一般通过数学思想的培养，学生的数学能力会有大幅度提高。从某种意义上来说，数学思想本身就是数学学科中大概念的一种表征形式，两者都是具有统摄功能的上位概念，都能体现数学的思维本质与内在逻辑。如果非要对两者进行区分的话，大概念更加侧重于抽象层面的理解倾向，而数学思想则可以下沉至方法，可以应用于具体问题的解决。因此，在复习课中以大概念渗透数学思想，既是检验大概念在教学中是否对复习产生意义的标准，同时也是复习课堂的一种具体表现形式，指向对知识的深度理解与高度概括，奠定了整节复习课的基调与立意。

在对二次函数图象和性质的路径建构的回顾中，笔者引导学生从数与形两种不同的角度展开思考，是本节复习课数形结合思想的第一次渗透。之后学生类比几何视角，遵循由简单到复杂的研究梯度，以最简二次函数y=ax2为研究起点，依次加上常数项、一次项分别得到y=ax2+c与y=ax2+bx，最后将两种项同时加上便可得到一般式y＝ax2+bx+c。该复习建构过程如图2所示，这一探究过程渗透了从特殊到一般、由简单到复杂、类比等数学思想，这些数学思想向上看正是路径建构、数学分支、方案设计与验证等大概念的具体实施方式，向下看则是与二次函数图形内在特征相关的结构化形态呈现。

在对二次函数图象和性质研究的代数路径进行验证时，学生需要根据a、b、c的符号联想大致的函数图象草图，然后再分析各草图之间是否具备某种逐层递进的关联，以此判断该路径能否成为探究二次函数图象和性质的主线。为了方便研究，本节复习课统一令a、b、c为正数，具体分析情况见表1。其中无论是y=ax2+c的函数图象与y轴交点位于正负半轴的讨论，y=ax2+bx的对称轴与y轴位置关系的讨论，还是y=ax2+bx+c的函数图象与x轴交点个数的讨论等，都暗藏着事物的确定性与不确定性，学生能从中体会到分类讨论的必要性，并在画图过程中寻求变量与常量之间的关系，关注变化中的不变。该复习建构过程用图3的思维导图呈现。当这些体现数学思想的行为在课堂中出现时，大概念便会逐渐落地，使得学生对知识的理解在二次建构中指向更高位的层级。在教学时，笔者也注重抓住时机提问，引导学生基于大概念将思维向更深处延伸，如“你们觉得‘往哪里偏’与抛物线的什么因素有关？”，学生再次从数形结合的大概念出发进行分析，发现与抛物线的对称轴有关，当a、b均为正时对称轴在y轴的左侧。笔者进一步追问：“那当a、b均为负，或者a、b一正一负时对称轴在哪？你发现了什么规律？”学生从分类讨论的大概念角度进行分析，发现当a、b同号时对称轴在y轴的左侧，a、b异号时对称轴在y轴的右侧。

从系数的代数特征迁移到图象的直观表征，整个探索过程虽源于对代数研究路径的验证，但本节复习课的价值早已不止于此。以新的视角让学生充满好奇地走进复习课堂只是表象，本质是学生在多元视角下，以更为丰富的数学思想对已学知识进行二次建构，在数与形的紧密联系中发现二次函数各项系数之间的不等关系均会影响函数图象的结论。

（四）使大概念流向体现综合素养的思辨精神

如果说数学思想方法的渗透对于学生素养的提升更多地体现在学科大概念上，那么当这种学科概念上升到思辨精神时则会逐渐形成一个人稳定的认知风格与思维方式，从而帮助人更好地形成对事物多面性的客观理解，可谓大概念的大概念，主要包括辩证思维与理性精神。辩证思维是指以变化发展视角认识事物的思维方式，通常被认为是与逻辑思维相对立的。在逻辑思维中，事物一般“非此即彼”，而辩证思维中事物可以“亦此亦彼”，这是大概念广度的体现。理性精神则是指人能够运用理智的能力，它通常指人在审慎思考后，以推理方式推导出结论，并通过论点与具有说服力的论据发现真理，而非依靠表象获得结论，这是大概念深度的体现。复习课深层次的意义在于培养学生的批判精神与质疑能力，因此将学科大概念汇聚于思辨精神是复习课的最终旨归，亦是发展学生素养和提升关键能力的根与源。

在本节复习课中，让学生自己设计一条与教材不同的研究二次函数图象和性质的路径便蕴含了许多看待事物、处理问题的思辨关系，如从特殊到一般，从简单到复杂，这既是人类认识客观事物的普遍规律，也是数学学科能得以发展的关键。对设计方案提出的路径的合理性进行验证时，需要收集证据对相应结论进行判断与归纳，这种思维的周全性、重逻辑与论据的缜密性都体现了极强的理性精神。当学生在完成了整节课的完整流程后，会发现四个表达式的图象之间并没有必然关联，即从代数角度研究二次函数的图象與性质是不合理的，但学生在这一过程中发现了二次函数系数与图象之间的关系等有价值的结论。当笔者提问学生通过本节课收获了什么时，学生无一表示抱怨或遗憾，而是都对同一事物展开了不同维度的思考，比如“我学会了对问题提出猜想时，要设计方案验证猜想，并根据实践结果评估猜想的可行性”“我学会了如何根据二次函数中参数的范围画出大致的函数图象”“我发现了除了a、b、c的正负性，2a-b＜0，a+b+c＞0、a-b+c＞0、4a+2b+c＞0、9a-3b+c＞0等式子也能限制函数图象的位置”等。

很多时候复习不用带着太多的功利心，看似没有找到明确答案，但沿途收获的“风景”依旧精彩，这正是辩证思维的一种体现，更是大概念教学的必然结果。教育要立德树人，大概念引领下的复习课通过数学的特有视角，以浓厚的数学味让知识流向综合素养的培育，“春风化雨”地帮助学生立德、立格，成才、成人。

参考文献：

［1］顾继玲，章飞. 初中数学单元复习课教学设计的特征分析［J］. 数学通报，2021（7）：31-36，41.

［2］曹燕萍. 从“炒冷饭”走向“满汉全席”：当前初中数学复习课教学突出问题审视及改进策略［J］. 中学数学，2023（4）：37-40.

［3］张东. 基于发现和提出问题推进初中数学复习课教学的实践与思考［J］. 数学通报，2019（4）：37-40.

［4］威金斯，麦克泰格. 追求理解的教学设计［M］. 2版. 闫寒冰，宋雪莲，赖平，译. 上海：华东师范大学出版社，2017：72.

［5］加德纳. 多元智能新视野［M］. 沈致隆，译. 杭州：浙江教育出版社，2021：178.

（责任编辑：潘安）

【作者简介】周炼，中学一级教师，曾获江苏省教科研先进个人，江苏省青年教师初中数学教学基本功大赛一等奖。

【基金项目】2022年江苏省教育科学规划课题“大概念观照下初中数学前建构教学的实践研究”（课题编号：C/2022/02/01）