高考数学情境化试题分析与教学启示

王智宇　张维忠

【摘 要】以学科核心素养为导向的高考评价体系为数学情境化试题的设计提供了广阔的空间。研究者从“背景呈现”“数学表征”“任务要求”三个维度对数学情境化试题的水平进行分析和说明，并给出科学设计数学教学情境、强化数学表征能力以及深化对数学知识本质的理解与迁移等教学启示。

【关键词】高考数学；情境化试题；水平分析

以学科核心素养为导向的高考评价体系为高考数学情境化试题的设计提出了较高的要求。《中国高考评价体系说明》提出要发挥问题情境在考查学生在必备知识、关键能力、学科素养和核心价值四个层面的重要价值。其中，情境分为生活实践情境和学习探索情境两种类别，情境活动将分为简单的情境活动和复杂的情境活动两个层次［1］。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》也对高考命题进行了说明：选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体。情境包括现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联性、综合的。数学问题分为简单问题、较复杂问题和复杂问题。［2］然而，上述两种划分办法割裂了情境与问题的关联，同时尚未明确各个层次的边界，不能全面地分析情境化试题的特点。因此，本文将更细致地对数学情境化试题进行水平划分和说明，并结合2022—2023年部分全国高考数学试题进行分析，从而形成对数学课堂教学的若干启示。

一、数学情境化试题的水平分析框架

结合数学学科的特征以及我国高考数学试题的命制特点，本文尝试从“背景呈现”“数学表征”“任务要求”三个维度对数学情境化试题的水平进行分析，具体划分办法如下。

（一）背景呈现

“背景呈现”指学生对试题中情境与问题的背景的亲近感知程度，由近到远分为“熟悉”“关联”“综合”三个层次。其中，“熟悉”是指学生在先前的数学课程学习中接触过的、感兴趣的、现实生活环境中常见的背景；“关联”是指学生不太熟悉的、先前没有接触过的情境，可以是数学内部不同知识模块的关联背景，也可以是数学与生活实践、历史文化、其他学科以及科技应用等之间的关联背景；“综合”是指学生感到陌生的情境，需要学生开展探究与创新的情境，是数学知识内部与外部之间更广泛的、更深层的、更隐蔽的关联背景。

（二）数学表征

“数学表征”指学生在情境中提取数学信息并转化为有利于问题解决的数学表征方式的能力，从低到高分为“解释”“选择”“设计”三个层次。其中，“解释”是指学生能够识别试题呈现的表征和直接利用文字、符号、操作性模型、图形或图表等表征进行解释；“选择”是指学生能够为情境与问题的理解或问题解决选择恰当的表征方式以及能够在不同的表征之间进行相互转换；“设计”是指学生在能够熟练运用各种数学表征方式的基础上，为情境的理解或问题解决的关键点设计特定的表征方式。

（三）任务要求

“任务要求”指学生分析情境与问题中蕴含的数学关系以及完成解题任务所需要达到的认知水平和动作水平，从低到高分为“理解”“分析”“创造”三个层次。“理解”是指学生能够理解情境与问题中蕴含的数学概念、性质、公式、定理和公理等的基本含义与特征，运用数学基础知识、基本规则和基本方法解决简单的数学问题等；“分析”是指学生能够进行类比数学推理，区分和识别数学情境与问题蕴含的数学内容的本质属性，将统一整体下的各部分数学内容分类和建构联系，综合运用各种知识和方法解决常规性的较为复杂的数学问题；“创造”是指学生在复杂的情境与问题中将源于不同整体下的关联度更低的数学要素整合在一起形成内在一致的功能整体，能够运用数学思维和思想方法创造性地通过猜想、验证来解决非常规性的复杂的数学问题。

将“背景呈现”“数学表征”“任务要求”分别用字母X，Y，Z来表示，“背景呈现”的“熟悉”“关联”“综合”三个层次依次表示为X1，X2，X3，以此类推表示另外两个维度，则每一道情境化试题的水平层次都可以表示为（Xi，Yj，Zk），其中i，j，k∈{1，2，3}。需要说明的是，三个维度之间不是相互独立的，是彼此关联的，共同构成了情境化试题的水平空间。

二、高考数学情境化试题分析

根据上述的划分办法，下面结合2022—2023年部分高考数学试卷中的典型试题进行分析和说明。

三、对数学课堂教学的若干启示

结合上述分析发现：第一，刻画试题情境化水平的三个维度之间存在关联性，即改变一个维度的水平会影响另外两个维度的水平；第二，同一学习者对于試题的理解会受到试题的情境化水平的梯度设置方式的影响；第三，拥有不同学习经验的学习者对试题的情境化水平的理解会存在差异。这也为课堂教学提供了更多的可能性。教学的一个重要任务是帮助学生实现从“综合情境”到“关联情境”，再到“熟悉情境”的感知转变，以及运用和设计数学表征解释和阐明情境中的数学问题，将复杂的数学问题转化为简单的数学问题，并逐步建立关于数学知识本质的理解，实现知识迁移与创新，培育学生数学核心素养。因此，在教学中，我们可以得出以下启示。

（一）科学设计数学教学情境

情境学习和认知理论强调知识是主观的，动态发展的，无法直接传递的，需要学习者在特定的情境脉络中不断地理解和建构中产生［3］。知识的迁移性孕育着素养的迁移性。这意味着促进素养发展的知识学习需要与多样化的情境相联系，使其迁移性获得最大化［4］。因此，数学教学情境是落实数学核心素养的重要载体，直接影响着学生的知识建构和思维发展，具有不可或缺性。教师设计数学教学情境时需考虑三个方面：第一，把握情境设计的原则和方法，即聚焦于教学目标，符合学生认知和思维发展规律，体现出科学性、探究性和发展性等。基于数学知识内部的发展与社会生产生活的需要，从生活、社会、数学史料和其他学科中提取真实情境的原型，通过观察生活现象和实物、实验操作、利用信息技术资源、聚焦疑难问题等方式逆向设计教学情境。第二，把握情境创设的目的，即通过设计真实的情境，引导学生沟通数学与现实生活以及数学内部的联系，激发学生的探究和挑战的欲望，完整地经历问题解决的过程，建立关于数学知识理解的记忆，逐渐学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，发展“四基”“四能”。因此，教师在情境设计时要避开那些提不出问题或不具备研究价值的情境、平淡无奇或一目了然的情境、复杂古怪或晦涩难懂的以至于学生运用熟悉的知识与技能难以理解的情境。第三，把握情境设计的层次性。弗赖登塔尔提出数学教育的任务就在于确定各类学生不同阶段必须达到的数学现实，将客观现实材料与数学知识体系融为一体［5］。因此，情境设计的层次性应当与数学核心素养水平发展的层次性对应起来，并体现循序渐进的原则。比如在熟悉的情境中发现和提出数学问题的原型以促进知识理解，在关联的情境中将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题以促进知识迁移，在综合的情境中感悟到问题变形、拓展和延伸的脉络以促进知识创新［6］。

（二）强化数学表征能力

數学试题是问题情境化和情境问题化的综合体现。情境指向背景中蕴含的数学信息，问题指向问题解决所需要经历的数学抽象、逻辑推理、数学运算等过程。情境与问题之间存在理解和建构的不确定性，蕴含召唤结构［7］。数学表征有助于建立一种映射关系，为“从情境中抽象出数学问题”“将一个数学问题转化为另一个更容易理解的数学问题”“基于情境与问题的解决生成新的情境与问题”等环节提供支持。教师可以从以下三个方面强化学生的数学表征能力：第一，为学生识别与简单运用熟悉的数学表征提供支持。教师要充分借助恰当的现代信息技术手段以及数学教学工具，增强学生的直观认识，引导学生从情境中抽象出数学关系，能够发现、提出以及用数学文字语言、符号语言和图象语言表征数学问题，积累重要的数学模型的表征方法，比如用三种语言表征“基本立体图形与立体图形的关系、初等函数的性质、直线与圆锥曲线的位置关系”等。第二，为提高学生的表征转换能力提供支持。教师首先要拓宽素材的来源，比如人教A版高中数学教科书编排函数的概念、函数模型的应用、建立数学模型解决实际问题、随机变量的分布、样本数据的统计分析、裴波那契数列、杨辉三角、割线的斜率变化等内容运用了丰富的多元表征形式，研究表明使用多元表征比单一表征更容易理解数学［8］。此外，教师要鼓励学生以小组合作的形式分析比较不同的数学表征对数学问题的迁移和解决的影响，提高学生灵活地选择数学表征解释和转化数学问题的能力。第三，为学生创造性地设计数学表征提供支持。首先，教师所设计的情境的结构是不良的，情境与问题之间蕴含着召唤结构，从而使问题解决的方案是不明确的、多样化的以及可持续优化的，帮助学生自己形成问题解决的办法。此外，教师在实施教学过程中要多鼓励学生提出多元表征以及共同协作考察各种方案的可行性从而形成解决路径。

（三）深化对数学知识本质的理解与迁移

数学情境化试题是以情境与问题为载体，数学表征为手段，数学认知为核心建构的数学知识内部与外部关联的一个整体。高考数学试题以数学核心素养的评价为导向考查学生知识学习的水平。因此，教师可以从以下三个方面展开教学：第一，挖掘数学原始概念的关联，拓宽认知的渠道。比如教师可以依托“向量内容”的教学让学生认识到“点的直角坐标，向量的坐标分解，直角三角形的正弦、余弦，复数的实部与虚部四位一体，它们的原始概念彼此相通，只是形式上的不同”，从而更好地理解高考命题往往在知识点的交汇处这一特点。第二，强化数学思想方法的引领，明确解题路径。近年来，高考试题中出现的诸如“求解三角形边角及其关系的最值”“求立体图形中的某个几何量的最值”“证明与函数的零点与极值点有关的不等关系”“数列不等式的证明”等问题的本质是考查学生对函数思想的掌握与应用。解决此类问题的核心策略是基于各个知识模块中的相等关系或不等关系，通过推理实现多个变量到单一变量的转化，再选择恰当的函数最值求解方法进行解题。第三，重视反思对于实现高质量学习的重要意义。教师要给予学生足够多的机会反思他们的学习行为，包括为什么这么做，如何做，以及如何评价学习的效果。通过反思，学生进一步对旧的情境与问题进行变式，从而拓展和推广生成新的情境与问题等，形成和发展数学思维。

参考文献：

［1］中国高考评价体系说明. 教育部考试中心［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］BROWN J S，COLLINS A，DUGUID P. Situated cognition and the culture of learning［J］. Educational researcher，1989（1）：32-42.

［4］张华. 论核心素养的内涵［J］. 全球教育展望，2016（4）：10-24.

［5］弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995.

［6］喻平. 数学核心素养评价的一个框架［J］. 数学教育学报，2017（2）：19-23，59.

［7］丁福军，张维忠. 学习机会视角下小学数学课堂中的情境任务教学质量分析［J］. 浙江师范大学学报（自然科学版），2023（2）：219-226.

［8］沈阳，张晋宇，鲍建生. 表征在数学教育中的研究现状［J］. 数学教育学报，2022（2）：82-89.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】王智宇，一级教师，浙江师范大学教育学院在读博士研究生，主要从事数学课程与教学论研究；张维忠，浙江师范大学教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究。

【基金项目】全国教育科学“十三五”规划教育部重点课题“指向深度理解的问题链教学研究”（DHA200318）