2016年全国高考数学试卷中导数试题的研究与反思

房得阳　赵珊　李凯

【摘要】导数是解决函数问题的有力工具，也是新课标高考考查的热点之一，因而研究高考试题中有关导数试题的特征及规律，对于有效开展教学与指导复习备考显得尤为重要.本文从知识考点、导函数类型、思想方法、数学能力4个维度对2016年全国高考数学试卷中涉及导数试题的42道题进行梳理统计，并分析其考题特征以及分布特点，最后得到几点反思.

【关键词】高考数学；导数试题；教学反思

1引言

导数是高考试卷中重要的组成部分之一，是解决函数问题的有力工具，更是新课标高考命题的热点.随着新课程改革的不断深入与实践，高考制度日趋完善，导数内容作为高考考查的重点知识板块，不断地被时代赋予新的含义，在基础知识的考查之上出现了很多经典题型.继承以往高考试题命题的特点，严格遵循《普通高中数学课程标准（实验版）》与《2016年高考考试说明》，在2016年的高考數学试卷中导数专题仍然占有相当大的比重.导数专题题型一般是一道选择题或者填空题和一道解答题，并且解答题一般作为压轴题出现，在整套试卷中的权重通常为17%左右，所占的分值一般为20分左右.从今年来看，全国共使用10套文理卷，其中全国卷3套，省（市）卷7套.2016年每套试卷各有特色，从深层次的视角分析，无论是知识点、思想方法及数学素养的考查上还是整体结构或试题类型的呈现上，均体现了以基础知识为本，能力立意[1]为新的数学理念，渗透了逻辑性、探索性及综合性的数学素养，并注重传统考查热点与新概念、新情景的有机整合.由此，对试题进行比较与分析，对教学、备考及研究都有很好的帮助.

本文在研究过程中，在中国知网中搜索“数学导数专题”，有55篇相关论文，其中教学研究及应用类有29篇，题型研究及应用类有16篇，考查方式及考试热点类有6篇，试卷试题分析类有4篇，相对来说较少，因此，本文对2016年全国高考试题导数试题进行了研究与分析.2研究方法

本研究以2016年全国10套理科试卷和9套文科试卷（江苏省文理卷相同）有关导数方面的42道题为研究对象，采用比较分析法和量化分析法做横向研究，主要从知识考点、导函数类型[2]-[3]、思想方法、数学能力4个维度入手，以不同的视角对高考导数试题进行多维度要素分析，呈现试题的分布规律，总结其特点.

3研究结果及分析

3.1知识考点

知识考点即考试试题中所涉及到的知识点，依据考查内容来确定.知识考点是高考中考查内容的具体体现，知识考点是考试命题的依据和保障[4].数学知识考点一般包括定义、概念、性质、命题、公式、定理、公理、法则等.本研究中通过对“导数”知识考点梳理与统计，概括出以下6个知识考点，由此来分析知识考点在题型中的分布情况，如下表1和图1所示.

由表1和图1可知：2016年高考试题中导数方面知识考点文科卷累计考查了46次，其中选择题中考查了14次，填空题中考查了10次，解答题中考查了22次；理科卷累计考查了40次，其中选择题考查了6次，填空题考查了5次，解答题考查了29次.从考查的频次来看，比较明显的一个特征是解答题集中考查了导数的知识考点，而选择题和填空题考查频次较少.文科卷和理科卷相比较而言，基础知识考点文科卷考查频次多于理科卷，在综合知识点考查方面理科卷多于文科卷.

综合2016年高考全国文理卷导数试题知识考点，高考导数试题命制在基础知识的考查上相对平稳，但结合近几年全国新课标卷的导数试题命题特点，导数试题知识考点在深度和广度上有增不减.导数知识考点的交汇性问题是一个重点，而且知识考点交汇性问题的命题思路也已日趋成熟.高考试题具有选拔优秀人才的功能，因此单个知识考点的试题已远远不能满足试题命制及能力考查的需要，多数试卷将许多知识点相互渗透、交汇、有机地融合在一起进行考查，甚至有的考题是将整个知识单元串联起来进行考查.另外，导数知识考点不是一个独立的专题，经常与方程等知识联系起来考查，部分题目还考查了利用导数来解决优化问题和实际问题.3.2导函数类型函数是导数知识考查的载体，导数是研究函数性质的重要工具.导数作为研究函数的利刃，常年来围绕基本初等函数、分段函数、复合函数、新定义函数等类型命制高考试题.本研究通过对2016年全国高考试卷进行归纳梳理，总结出以下几种类型，对出现的频次做了整理以方便研究其分布特点，如下表2和图2所示.

由表2和图2可知：2016年高考导数试题中文科卷对以上函数类型累计考查了40次，其中三角函数考查了4次，指数函数考查了7次，对数函数考查了6次，幂函数考查了3次，分段函数考查了2次，复合函数考查了14次，新定义函数考查了4次；理科卷对以上函数类型累计考查了40次，其中三角函数考查了3次，指数函数考查了7次，对数函数考查了5次，幂函数考查了2次，分段函数考查了3次，复合函数考查了15次，新定义函数考查了5次.比较显著的一个特征是文科卷和理科卷对复合函数类型的考查频次普遍多于任何一种单一的函数类型.理科卷在复合函数类型和新定义函数类型上的考查略多于文科卷.

综合以上图表，2016年高考导数试题仍然考查了多种导函数类型，且分布相对稳定，文理卷差异不显著.比较突出的一个特点是文理卷都集中考查复合函数类型的频次相对较高，复合函数没有具体的解析式为载体，理解起来较为困难，但由于此类型函数既能考查函数的概念和性质又能考查学生的思维水平和推理能力，因此在难度设置上比较好分层次，设问方式也是常规中有创新.

3.3思想方法

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.数学方法是在数学思想的指导下，为数学思维活动提供具体的实施手段，是数学地提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等.通常混称为“数学思想方法”.常见的数学思想方法为：分类讨论思想方法、函数与方程思想方法、数形结合思想方法、转化与化归思想方法.以下是高考试卷中有关导数试题所考查到的思想方法的分布特点，如下表3和图3所示.

由表3和图3可知：2016年高考导数试题中文科卷有23道题考查了数学思想方法，其中选择题和填空题主要考查了分类讨论思想方法和数形结合思想方法，解答题对4种思想方法均有涉及；理科卷有26道题考查了数学思想方法，其中选择题和填空题未涉及到函数与方程思想方法和转化与化归思想方法，解答题均有涉及.由图可知，分类讨论思想方法和数形结合思想方法是考查的重点，在各类题型中均有考查，整体上，理科卷相对文科卷对导数试题中思想方法的考查力度大一点.

数学思想方法是数学知识的高度总结和概括，渗透在数学问题发现、分析和解决的过程中，体现在数学知识发生、提炼和应用的过程中.高考试卷命制注重对数学思想方法的考查，更注重对学生数学素养的考查.高考试题中导数试题所蘊含的数学思想方法比较丰富，这不仅对学生在导数知识的理解和掌握上提出了高的要求，而且对教师的课堂教学和教学研究有了更高的要求，启示学生和老师在平时的教和学中，应有意识地挖掘蕴含在题目中的数学思想方法.

3.4数学能力

数学能力是由数学基础能力、核心能力和综合性能力三个不同层面的多种能力成分组成的.现代数学教育理论认为，数学能力是指顺利完成数学活动所必备的基本能力，包括空间想象能力、运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力等基本能力.经分析，高考试卷中导数试题主要考查的数学能力有：抽象概括能力、运算求解能力和推理论证能力.这三种能力在不同类型试题中的分布情况如下表4和图4所示.

由表4和图4可知：2016年高考导数试题中文科卷对数学能力累计考查了24道题，理科卷累计考查了28道题.一个很明显的特点是运算求解能力是文理卷考查的重点，其涉及到的题目文理卷累计达到32道题.由图可以看出，文科卷对抽象概括能力的考查题占所考查题目的15%，而理科卷对抽象概括能力的考查题占所考查题目的25%；对运算求解能力的考查，文理科卷考查题量相同，存在的差异在于文科卷在选择题和填空题类型的考查题目多于理科卷，而理科卷对解答题类型的考查题量多于文科卷.

随着数学教育改革的发展，数学能力不断的被赋予新的内涵，特别是高考试题命制以能力立意为指针，更加凸显出数学能力的培养与考查在数学教学中的重要意义.导数专题与很多知识考点联系紧密，这就要求学生学习时注重全面锻炼数学能力.

4研究结论及反思

由以上研究结果与分析，可以总结出高考试卷中导数试题有如下特点：

（1）2016年全国高考导数试题的6个知识考点文科卷和理科卷均有涉及，各题型分布相对稳定.文科卷和理科卷都秉持以基础知识为考试考查的主要对象，重点和难点偏重于解答题，高频考点突出，考题问题设置稳中有新.文科卷相对理科卷偏重单个知识考点的考查，理科卷相对文科卷对于综合知识交汇考查的特点更加明显.

（2）综合全国文理科试卷，对7个导函数类型考查总体分布稳定，局部分布略有差异.在三角函数、指数函数、对数函数、幂函数4个类型的考查上文科卷相对考查特点突出，理科卷更偏重于分段函数、复合函数与新定义函数的考查.复合函数是导数试题考查的重点和难点，新定义函数是导数试题考查的亮点，预计在以后的考试中仍然会注重对复合函数和新定义函数的考查.

（3）全国高考导数试题对数学思想方法的考查均有涉及，其中分类与整合思想方法和数形结合思想方法是三种题型考查的重点，转化与化归思想方法是文理科试卷解答题考查的重点和难点.部分试题凸显出数学思想方法综合化考查的特点，以新背景，新思维、新问题来全面考查学生的数学素养.

（4）从文理科试卷整体视角来看，导数试题对三个能力的考查均有涉及，且以考查运算求解能力为重点.每套试卷中的导数试题从符号、图像、表达式、问题叙述等方面，客观上要求学生具备一定的获取知识能力、分析理解能力及准确表达能力.研究发现，全国各套试卷更加注重数学能力的综合考查.

通过对2016年全国高考数学试卷中导数试题的研究与分析，可知高考命题不仅仅考查以知识考点和函数背景为载体的基础知识，更注重对考生数学素养和数学能力的考查.考查命题以教材和课程标准为依据，文理科卷各有特色，即追求命题创新，又不回避经典传承.研究所提供的框架及结论有助于教师在教学中把握重难点，学生在备考复习的过程中做到有的放矢，全面提升导数知识的学习水平.

参考文献

[1]任子朝.能力立意命题的理论与实践[J].数学通报，2008（1）：24-32.

[2]谢印智，张海军.以导函数类型为切入点的导数题型分类[J].考试，2011（2）：101-103.

[3]罗永红.讨论函数单调性的导函数类型[J].理科考试研究，2014（5）：3-4.

[4]任子朝，周远方等.高考数学科考核目标研究[J].数学通报，2013（7）：1-8.

[5]郑一平，苏华春.高考数学压轴题的风向标——导数在函数综合性问题中的应用例析[J].中学数学，2016（9）：68-74.

作者简介

房得阳，女，甘肃兰州人，西北师范大学教育学院硕士生，研究方向为数学教学论；赵珊，李凯为西北师范大学教育学院硕士生.