基于学科核心素养视域下提升运算能力的教学思考

郑妙可

【摘要】初中数学教学内容中数式运算占比大，教师需挖掘运算教学功能，不可仅“盯”学生会运算，还要会灵活運算，更应着眼法则生成中的思维可视化，潜移默化地渗透数学思想方法.唯有如此，学生的数学学科核心素养的落地才能润物无声、水滴石穿.课堂教学中教师在关注运算“技能”的同时，还应关注“技能”背后的“算理”，“算理”背后的“思维”，“思维”背后的“思想与方法”.

【关键词】数学运算；核心素养；数形结合

【基金项目】教育部福建师范大学基础教育课程研究中心2022年开放课题———指向学科核心素养发展的初中数学问题情境创设研究（KCA2022235）阶段性成果.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）指出核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现.其中，小学阶段侧重于对经验的感悟，初中阶段侧重于对概念的理解，而运算能力在小学阶段与初中阶段核心素养的表现及其内涵是一致的：“能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.”《课标》明确了运算能力的提高与运算算理的理解互为倚仗、相辅相成，算理的理解与推理能力的发展是相互促进、相互制约的.

教学实践表明，法则的学与用在运算能力的提高方面分量足、作用大.然而，提高运算能力视角下的初中数学法则教学常被“矮化”为：一个法则、三项注意、几道例题、多题训练、变式巩固、达标检测的教学范示.这样的教学范示看似有效，甚至称为高效的“得分”课堂.但这样的教学范示能够帮助学生理解运算的算理吗？能够帮助学生提高运算能力吗？本文依托笔者的一节公开课教学实践，阐释相关的思考与认识.

一、基于学科核心素养视域下的课前准备

学科核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的神秘概念，它们综合体现了对学科知识的理解，对学科技能与方法的掌握，对学科思想的感悟，对学科活动经验的积累.数学核心素养的形成与提升不能离开学科的学习、应用、创新.教材呈现的往往是高度抽象和概括的静态知识，是数学知识与思想的浓缩，其实，在这些“冰冷”的数学概念、定理或公式背后，隐藏着丰富的思维过程、艰难的探索历程、精彩的动人故事等.因此，教师对学科本质的理解，对教材编者的意图以及对学情的分析与研究是上好一节课的前提条件.而教师对课的整体设计，对课堂中数学思想方法的渗透，对教学中学科核心素养培养的路径等“站”于高位上的思考是高效课堂生成的必备条件.

“多项式与多项式相乘”是《整式的乘法》这章中具有起承转合功能的一课时.因此，教师在备课时从知识结构与学生形成知识结构的心理环节进行整体构思，有意识地进行“整体单元”思考、设计问题，力求让问题成为搭建知识网的“脚手架”，增强知识的关联性、完整性，让学生思维深度向前迈进一点.教师充分考虑学生已掌握基本的数学事实与数学活动经验入手，突出学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，引导学生探索运算基本法则，使其学会用符号语言解释运算法则，并借助图形面积整体与部分间的关系进行直观解释、验证，体会数形结合思想.教师在课堂留足时间供学生交流、讨论，使学生体会数学的应用价值，从而培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界的能力.

二、基于学科核心素养视域下的课堂教学

环节1：课前“热身”，揭示课题

问1：写出两个单项式和两个多项式，并列出两两相乘的式子.

问2：同桌互换本子，计算两两相乘的结果，有你不会运算的式子吗？

（学生经历出题，做题，批改，交流，订正.）

师生合作：教生回顾单项式、多项式的概念、单项式与单项式、单项式与多项式运算法则.运算法则回顾过程中教师板演本章节三个“垫脚石”公式：am·an=am+n，ab（）n=an·bn，an（）m=am·n.

设计意图：开放性问题引出学习本课的必要性及最后“问题式”的课堂小结，这两部分构建了单元整体知识网，教师以问题来搭建知识生长的脚手架，从而增强学生知识的关联、张力、深度.教师在学生已有的学习经验中构思、提取、设问，贴近学生“最近发展区”创设新授课的问题情境，依数学知识的理解和应用而设计的开放性问题.问题的引入加深了学生对单项式、多项式两个概念的理解，明确了单项式与多项式的结构特征.两两相乘运算中单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘是对上一节课所学内容进行巩固，当学生在计算多项式与多项式相乘时“卡笔”了，教师顺势抛出课题，也为课堂小结教师“站位”整体单元的视角下知识构建埋下“伏笔”.

环节2：思维“舞动”，生成法则

问3：如图，为了扩大花园的绿地面积，把一块原长a米，宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米.你能用几种方法表示扩大后绿地的总面积？

师生活动：学生独立思考书写代数式，然后小组内交流，

问5：请探索多项式与多项式相乘的运算步骤，总结运算法则，并用文字语言叙述.

设计意图：问题串的设计并不是单纯为了课堂提问，而是基于学生已有的认知结构，遵循知识的发生和发展规律，围绕着教学目标，由浅入深、循序渐进、精心设计的一组问题.问题串是一系列问题，每一个子问题都不是“孤立”的，在设计上考虑其本身的连续性、梯度性与启发性.教师从实际问题出发，以问题驱动引领学生自主探究、思考问题解决，引导学生多角度以“数”来表“形”，再对“数”与“式”进行深度思考、加工、整合，使学生从数量与数量关系中抽象出一般规律和结构，并用数学语言表述，能够体现学生的主体性，培养学生数学抽象能力.

环节3：规范“演练”，熟悉法则

问6：同学们例中的第3小题可直接运用运算法则吗？刚刚是由二项式乘二项式生成法则，那么二项式乘以三项式也遵循相同的运算法则吗？若可以，请构建图形进行验证；若不可，请举反例.

（四人小组交流讨论，投影展示学生的构图）

设计意图：从特殊算式归纳得到的法则是否完整地归纳了所有类型式子的运算，教师引导学生通过构图来验证，完善学生对新知识的构建，发展其数形结合思想，同时培养了严谨求实的做事品格.例题由学生齐答，教师板演.教师示范性板演即是学生熟悉运算法则的过程，又可在学生的“易错”之处起到提醒、强调的作用.

环节4：实战“操练”，熟练运用

问7：观察以上6个小题运算结果，从第3小题至第6小题的运算中你能发现什么规律吗？

试填空：（x+p）（x+q）=（ ）2+（ ）x+（ ）

问8：你能构建图形来验证等式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq成立吗？（小组交流，投影展示）

设计意图：教师有目的性地对课本配套的练习进行适当的改编，体现了本课以“式”设疑，以“式”构图，以“式”促思的主题，以发展学生数形结合思想为主线，以学生交流为主体，以有效问题为主导，发展学生的思维活跃性与扩展性，促进学生思维的生长点.学生经历数学知识“再创造”的过程时也就是将教材中静态的知识转化为课堂上动态的建构生成过程，学生切身体会感悟新知，有利于提高理解思维能力，明晰运算法则的对象.

环节5：梳理“归整”，构建“知网”

问9：总结本节课运算法则生成过程的研究路径及思想方法.（师生一起完成）

问10：本节课学了多项式乘以多项式运算法则：

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，并在练习中构图验证了恒等式：（a+b）（a+n）=a2+（b+n）a+bn.观察这两个式子的字母特点，不难发现当m=a时，运算结果有一定的结构特征，那么是否存在字母更特殊的时候，运算结果也具有一定的结构特征呢？如，当m=a，n=b时，（a+b）（m+n）=（a+b）2=？又或是当m=a，n=-b时，（a+b）（m+n）=（a+b）（a-b）=？是否还有其他的特殊情况呢？请同学们课后交流、探索是否还能利用面积不变性构图来验证恒等式成立呢？

设计意图：教师设置问题串为学生后继学习做“铺垫”，使学生带着问题、带着思考、有所收获、有所期待地走出教室.问题使学生在潜移默化中学会类比迁移旧知找到新知的学习内容、学习方法，不断地更新已有的知识结构和认知体系，使学生的思维从最近发展区走向深水区，真正实现基于学生、发展学生、以学生为本的课堂教学.

三、基于学科核心素养视域下的教学启示

（一）教学起始问题应顺应学生的认知水平

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的.”数学知识、思想、方法、观念都是在解决数学问题的过程中形成和发展起来的.因此，教师在数学课堂中需要将知识问题化，把每一个知识点设计成前后连贯的、学生能解决的问题串，使学生在设问与释疑的过程中萌生自主学习的动机与欲望，从而培养学生思考问题的习惯，不断优化学习方法.“问题是数学的心脏.”问题是显性的，思维是隐性的，数学语言则是“架”于显性与隐性的一座桥梁.然而，若问题的指向性过于明确时，学生思维量小则容易形成思维定式；若开放性问题的思维量较大，教师则害怕学生的“生成”不可控导致偏离预设，故一线教师少用或不用开放性问题.笔者认为，创设开放性问题有利于培养人的质疑、批判、严谨、逻辑等一系列思维品质，只有不断在课堂通过师生“平等对话”来共生“问题串”，才能提升学生的逻辑思维能力，培养学生的语言表达能力，又能使教师更进一步“理解学生”“看清”学生思维路径，有助于创设下一个有效问题.

根据“最近发展区”理论，笔者在教学设计中充分考虑“学生知道了什么”及“希望学生探究的问题与学生现有认知水平之间的距离”的问题，从而在新课中引入开放性问题使学生在回顾概念的同时产生了认知上的冲突，引出学习本课的必要性.在课堂小结处设置问题串来构建学生知识结构从而达成认知上的相对系统与有序，并期待后续的学习.教师通过解决实际问题生成法则，引导学生用文字语言与数学语言来表达运算法则，体现了培养学生的归纳、表达能力，同时也是“思维”可视化的一个过程.

（二）教学过程问题需关注学生的思想方法

数学教育是以学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练，学生能够拥有数学思维，从而更理性地思考，更有逻辑地分析，能够用另外一种眼光来看世界.数学基本思想是对数学知识和方法的抽象和概括，其蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，而数学基本活动经验是学生在学习数学知识技能的过程中逐渐积累，并在感悟数学基本思想的过程中逐步形成与掌握数学思维方法.本节课涉及数学化归与转化思想、整体思想、数形结合思想，新知识问题的解决常转化为旧知识来求解，这在数学运算课的教学中是一线教师常用、善用的，而学生数形结合思想的培养、发展，教师常常误以为只有在函数知识教学中体现.实则不然，人教版数学教材第十四章《整式的乘法与因式分解》章前引言呈现出一个大矩形拆分三个小矩形并在图形上方标出“整式乘法p（a+b+c）=pa+pb+pc”，体现图形“整—分”中面积不变性的“式”与“形”之间的转化，包括此章节中单项式与单项式相乘、平方差公式、完全平方公式等一些新课中都有“式”与“形”的相互转化.这充分体现了教材编者意图是使学生在数学运算中理解运算对象并發展数形结合思想，但这常常被一线教师所忽视，课堂教学中只关注了会算、算对，这样的教学完全不利学生核心素养的发展.因此，数学运算课在教学中多引导学生进行有序观察猜想、有序构图验证，达到学生有序有向思维的培养，提升学生的运算能力，发展数学核心素养.

（三）教学设计力求构建学生整体知识网

教育家约翰杜威在《艺术即经验》一书中曾提出“一个经验”的概念：当我们体验了一个完整的历程而达到完满时，就拥有了一个经验，且是一个完整的经验.学生通过一个课时的学习是无法形成一个完整的经验的，若能不断通过对单元知识进行归纳整理，才会拥有一个完整的学习经历，并形成经验，也就可以做复杂而具体的事情.因此，我们希望在有限的课堂学习中不断向学生渗透“以单元为单位”的概念，那就要求教师要“站位”单元整体教学视角下进行教学设计.

心理学研究表明，学优生和学困生的知识体系是不一样的.学困生头脑中的知识是零散孤立的，呈水平排列形式、列举形式；而学优生头脑中的知识是有组织、有系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构.因此，教师在备课时应多从知识结构方面与学生知识整体方面进行构想，有意识地整体单元教学设计问题，力求让问题成为搭建知识网的“脚手架”，增强知识的关联性、完整性、层次性，使学生的思维深度发展.因此，教师在关注课时的教学内容的同时更应关注单元的教学内容，将单元与课时有机结合，以清晰的策略、路径，以问题链的设计对课时内容、教学方法等进行优化，从而提升学生的学科核心素养，实现教学价值.

【参考文献】

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