“顺推”与“逆推”相结合的数学教学方式探究

高永超 毛艳艳

摘要： 学生的数学成绩取决于学生解决问题的能力，而提高解决问题的能力，最重要的是学会思考。学生在思考的过程中，可以将新的知识技能纳入旧知识体系，从而拓展旧知。教师帮助学生通过数学核心概念“顺推”与“逆推”结合的思考方式搭建“鹊桥”，找到解题的突破口，如果学生以此来发展思维习惯，不仅能灵活利用数学问题中的已知条件，还能明确最终目标，从而大大缩短从已知到达未知的过程。假以时日，学生的良好思维品质必然能养成，数学能力和数学素养也一定可以提升。

关键词： 解题能力  顺推分析  逆推分析  数学素养

数学核心素养的培养具有进阶性，低年级段应偏重于具体，侧重于意识方面，促使学生形成符号意识、数感、量感。高年级段应偏重于抽象，侧重于能力方面，即希望学生形成抽象意识。

小学阶段的数学问题一般比较直白，可根据已知条件直接解决问题，我们把这种探求问题的常规方法称为顺向推理，简称顺推。而到了初中，数学问题逐渐复杂，有时单纯依靠顺推并不能轻易解决。此时我们可以尝试逆向推理，即与常规方法反向的推理方式，简称逆推。为了更好地提升学生的数学能力和数学核心素养，我们往往采用顺推和逆推相结合的方式来解决数学问题。

一、数学教学中存在的问题

回顾多年教育教学工作，我们发现在学生的“学”和教师的“教”两个方面都存在以下一些问题：

一是有部分学生课上认真听讲，课中细致做笔记，课后按时完成作业，但考不好。对于教师讲的一些题目，他也能听懂，但稍做变动就不会了，遇到稍有点难度的题，更是无从下手。

很多教师把这一类学生总结为“不会学”。但我们认为这部分学生并不是不会学，而是不会思考，没掌握正确的思考方法。一旦他们掌握了正确的思考方法，他们的解题水平、数学能力必定能有很大提高。

二是有些教师的解题教学方式不妥。有时候教师没有从学生思维的起点分析问题，也很少分析“为什么我会这样解答”“是什么原因让我这样思考”，导致没有讲清楚思路的来源与发展的过程。比如，要作辅助线的问题，当学生问到“为什么这样作辅助线”时，教师的回答常常是“这是一种直觉，题做多了就会了”。可见，有些学生不会思考，和教师的教学方式也有一定关系。

那么，如何解决上述问题呢？

二、“顺推”与“逆推”相结合的思考步骤

近几年，我们针对上述两个问题进行了大量的实践研究，结果发现只有教师和学生都掌握了正确、高效的思考方法（模式），才能快速找准数学问题的突破口，从而更高效地解决数学问题。

在解题时，一般的思考模式是：读题→了解题目给了我们哪些有用条件→深入分析给定的条件和问题之间的关联→拟定解题计划。这种思考模式一般被称为顺推，相当于从起点到终点；另外，与此相对的是逆向思考模式，即从终点回起点，先从问题入手，通过假定问题已经被解决来分析到底需要哪些条件。

我们认为，数学问题的探究和教学不是单一的思维模式，“顺推”与“逆推”结合的思考方式更为常见，这样能缩短已知和未知之间的距离，让知识实现多向的迁移，从而锻炼了学生的发散性思维，发展了学生的数学素养。

“顺推”和“逆推”结合的思考方式大体上有三个步骤：

（1）从已知条件往后推，看每一个已知能得到什么中间结论，把不同的已知（有时需要与中间结论）组合起来思考，看又能得到什么小结论。

（2）从所求（未知结论或问题）往前推，看要解决这个问题需要什么条件，有时是把所求进行等价 转化 。

（3）在（1）中的中间结论和（2）中所需条件（或等价转化后的问题）之间找到契合点，建立联系，实现解题的突破。

对于复杂问题，有时需要重复（1）（2）（3）才能有所进展。在某些代数题中，（1）和（2）可以交换顺序。这个过程可以有一个浪漫的比喻，有点像牛郎织女的“鹊桥相会”，已知条件好比是“牛郎”，所求（未知结论或问题）则是“织女”，寻找解题思路的过程就相当于为牛郎织女搭建“鹊桥”的过程，“鹊桥”建好了，题就能解出来。而“顺推”和“逆推”结合的思考方式在搭建已知和未知的“鹊桥”时具有独特的优势与 魅力 。

三、“顺推”与“逆推”相结合的思考方式的例题研究

例1：如图1，在平行四边形 ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD。求证：CE+ 2 BE=AB。

按照“顺推”和“逆推”结合的思考方式有如下 分析 ：

（1）顺推分析：由ABCD是平行四边形，CG⊥AB，∠ABF=45 ° 可以得到△BEG和△FCE都为等腰直角三角形，那么BG=EG，CE=CF;由AE⊥AD得到AE⊥BC。

（2）逆推分析：CE+ 2 BE=AB，有些相似两条线段的和（差）等于第三条线段的形式，经常用的解决方法是截长补短，如何对BE进行转化则是本题的难点，那么它不同的转化方式也就自然产生了不同的解题方案。

2 BE可以有两种转化方式：

①根据等腰直角三角形的三边关系， 2 BE=BG+EG，于是所证结论可以等价转化为CE+BG+EG=AB，即CG+BG=AB，即只需证CG=AG。

②构造以BE为直角边的等腰直角三角形，  2 BE 就是斜边的长。

（3）找到（1）中的中间结论与（2）中转化后的问题之间的关系，完成解题，具体方法如下：

根据（2）①的分析，可延长AE交BC于H（如图1 1），可得∠1=∠2，易证△BGC≌△EGA，于 是CG=AG，已知与未知完美结合，进一步即得CE+ 2 BE=AB。

根據（2）②的分析，过E作EH⊥BE交AB于H（如图 1 2 ），知△BEH是等腰直角三角形，则  2 BE =BH，于是只需证CE=AH，即证△BEC≌△EHA即可。

或过B作BH⊥BE交CG的延长线于H（如图 1 3 ），则 2 BE=EH，于是只需证CH=AB，即证△BCH≌△EAB即可。

以上三种方法都是“顺推”与“逆推”结合的思考方式的很好例子，有“顺推”才能发挥已知条件的作用，有“逆推”才能知道目标在哪，问题的本质是什么，已知条件怎么样才能更好地使用。尤其在“逆推”时，不同的转化方法起到了一题多解的效果，对开拓学生的思维大有裨益。

顺推与逆推结合的思考方式不仅适用于几何问题，在一些代数问题中也十分实用。

例2：a、b、c、均为实数，且a

此题可以采用零点分段法对x的取值分类讨论，分别去掉绝对值符号，最后比较各段的值，再取最小值;也可以分段之后画出函数图像，取最低点的函数值，但这些方法都必须经历复杂的去绝对值符号的过程，有没有更简单的方法呢？

由于此题已知条件比较简单，顺推分析有点漫无目的，我们可先做逆推分析，则会发现|x-a|表示数轴上x点到a点之间的距离，|x-a|+|x-b| + |x-c| 就表明x点到点a、b、c的距离和，逆推与顺推完美结合，可画出下图2：

分析可知，这 三条线段在没有重叠部分时和最 小，此时x=b，最小和为a、c之间的距离，即|a-c|=  c-a。

这种方法还能推广到有n个点的情况。可见，对所求问题进行适当转化是多么重要，恰到好处的逆推分析大大地简化了解题过程。学生在这个过程中也会体验到解题的乐趣，继而增强学习数学的 信心 。

再看一道代数求值题。

例3：已知a= 3 + 2 ，b= 3 - 2 ，求 b a + a b 的值。

这道题直接代入当然可以求解，但是这显然不是最好的方法。已知条件比较简单，“顺推”需结合 “逆推”才能进行，于是，先逆推分析对所求 变形， b a + a b =  a   2 + b   2  ab ，此时如果代入数据也可以，但仍然不是最好的方法。接下来，我们结合已知，进一步变形： b a + a b =  a   2 + b   2  ab =  （a+b）   2 -2ab ab ，此时可以“顺推”计算a+b=2 3 ，ab=1，再代入上式求值则非常 简单 。

诚然，不是所有题都需要（或都适合）用“顺推”与“逆推”结合的思考方式，有的题直接用“顺推”或“逆推”就能解答，但掌握“顺推”与“逆推”结合的思考方式无疑是有益的。

从上述三个问题的论证中，我们可以认识到，如果学生能够通过“顺推”与“逆推”相结合来发展思维习惯，不仅会知道在解决数学 问题时对已知条件的使用，还能知道最终目标在哪，缩短了从已知到达未知的过程，而且往往会有一题多解的收获，既能开拓思维，还能培养兴趣，有利于数学能力和数学素养的提高。

四、顺推与逆推结合的思考方式培养策略

学生的思维习惯受到学生自身特点、成长环境、家长思维方式、教师教育程度等诸多因素的影响。教师在教学中可以采用以下几种策略。

第一，教师要有“顺推”与“逆推”结合的思考方式。解题教学中要让学生体会这种思维方式的魅力，感受由此带来的解题成功的喜悦与乐趣。教师在指导学生解决复杂数学问题时，要尝试引导学生用“顺推”和“逆推”的思考方式去发现已知条件和所求问题之间的联系，教会学生主动用多种方法去尝试解决问题，让学生逐渐拥有“化繁为简”的能力，深刻感受到数学的魅力，从而逐步具备探究和解决问题的能力。

第二，学生要有自主思考的意识。学生在解决数学问题中，如果发现单纯的“顺推”或“逆推”不能更快更好地解决问题时，就应该采用“顺推”与“逆推”相结的方式合来思考问题。

第三，教师要善于引导学生养成回顾的好习惯。波利亚《怎样解题》里总结解题的四步骤中的第四步就是回顾。回顾既是检查是否有错误，又是能对解题过程进行优化。要让学生通过回顾體会思路是如何产生的，是哪个已知条件起到了突破性的作用，以后遇到这种条件时是不是还可以这样用，这种解题方法以前在哪道题里见过，能不能推广到这一类题，等等。

学生的数学成绩较大原因取决于学生解决问题的能力，而提高解决问题的能力，最重要的是要学会思考。“顺推”与“逆推”结合的思考方式是寻找解题突破口的有力工具。学生如果能够养成这一思维习惯，不仅能灵活利用数学问题中的已知条件，思维品质必然能得到升华，数学能力和数学素养也一定可以得到提升。

参考文献：

[1]杨彬.中学数学解题时的逆向思考方式[J].中学数学，2020（3）：63 65.

[2]张姚亦.平面几何中的逆推法及其教学实践研究[D].长沙：湖南师范大学，2015.

[3]秦雄伟.逆向思维在中学数学教学中的应用研究[D].重庆：西南大学，2020.

[4]王会兵.逆向思维在初中数学解题中的应用探讨[J].考试周刊，2021（57）：85 86.

责任编辑：黄大灿