关于函数图象信息提取的举例探究

孔祥菊

【摘  要】  函数图象的信息提取是问题突破的关键，也是初中阶段需要学生重点掌握的技能.探究解析时，需要掌握信息提取的方法技巧，并能结合所学知识进行问题处理.本文对函数图象信息提取进行举例，分三种类型进行探究.

【关键词】  初中数学；函数；数形结合

“处理函数图象信息”是中考数学大纲对学生的基本要求，需要学生理解题干条件，读懂函数图象，从中提取信息，进而解决问题.函数图象信息的问题类型较为多样，问题解析要结合函数的相关知识，利用函数的性质分析，下面举例探究.

1  函数图象与特征系数关系

函数图象的特征是由函数解析式的特征系数来确定的，深刻理解函数图象与特征系数之间的关系是探究学习的重点.以二次函数图象为例，需要关注图象的开口方向、对称轴、变化趋势与特征参数之间的关系.

例1  如图所示1所示为对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）.

小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（    ）

（A）2.   （B）4.    （C）5.    （D）6.

思路分析  本题目为二次函数图象与特征系数关系分析问题，根据抛物线的开口方向可判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点可判断c的符号.后续根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，下面针对六个结论进行分析.

过程解析  ①由图象可知：a＞0，c＜0，则，可知b=-2a＜0，所以abc＞0，故①错误；

②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，则b2＞4ac，故②正确；

③由图象可知：当x=2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；

④由图象可知：当x=-1时，y＝a﹣b+c=a﹣（﹣2a）+c＞0，所以3a+c＞0，故④正确；

⑤由图象可知：当x＝1时，y取到值最小，此时y=a+b+c；而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤错误；

⑥由图象可知：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误；

综上可知，答案为（A）.

评析  上述探究解析二次函数图象与特征系数之间的对应关系.解析时从三个视角进行解析判断：视角一：根据抛物线的开口方向；视角二：根据抛物线与坐标轴的交点情形；视角三：根据抛物线上的特殊点，以及变化趋势.

2  函数图象中的信息提取

函数图象中隐含了大量的信息，涉及几何图形与函数图象的情形时，需要从两大方面进行分析：一是分析几何图形，提取特征性质；二是结合图形分析函数图象，根据其变化推导规律.常见于与几何动点联系紧密的函数图象中.

例2  如图2-（a）所示，在等腰直角三角形ABC中，点D是斜边BC上的动点，过点B作AB的垂线交直线AD于点E.过点C作CF⊥直线AD于点F，设AE为x，CF为y，y关于x的函数图象如图2-（b）所示，将图象上的点P（6，a）向右平移2个单位，再向下平移1个单位后恰好又落在图象上.则AB的长是___________.

思路分析  本题目为与函数相结合的几何平移问题，通过研究几何图形可以获得其特征性质，而研究函数图象则可以获得平移的过程信息，进而构建思路.

过程解析  根据条件可知，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.

由于EB⊥AB，CF⊥AE，

则∠AFC=∠ABE=90°，∠BAE=90°-∠FAC=∠FCA，

进而可证△ABE∽△CFA，

由相似性质可得CA∶AE＝CF∶AB.

又知CA=AB，则AB2＝AE·CF＝xy，

所以.其中AB为定值，

则y关于x成反比例函数关系.

因为点P（6，a）向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的坐标为（8，a﹣1），

可得6a=8（a﹣1），解得a＝4，

则AB2＝xy＝6×4＝24，

所以AB=（舍负），即AB的长是.

评析  上述探究几何平移中的线段长，从函数图象中提取信息是解题的关键，对于动点问题的函数图象，需要采用数形结合的方法.分析几何图形提取关键特性，结合函数图象特点分析动点运动规律，以及特殊位置的相关信息.

3  函数图象与实际问题

函数图象在实际生活或情境中有着广泛的联系，这也是其重要应用之一.对于该类问题，问题解析需要把握兩点：一是图象的坐标信息；二是从函数角度进行拆解，提取其中的实际信息.探究解析的关键是结合函数图象来理解其背后的实际意义.

例3  一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），右图3中的折线表示y与x之间的关系.根据图象回答：

（1）求解甲地与乙两地之间的距离；

（2）两车同时出发后，相遇所需的时间为_______小时；

（3）图象中线段CD表示的实际意义是_______；

（4）慢车和快车的速度分别为多少km/h？（写出计算过程）

思路分析：图3所表示的是慢车行驶时间与两车距离的函数，解析时要提取函数图象信息，关注其中的变化情形，再结合相关知识求解.

过程解析：（1）由图象可得，甲、乙两地之间的距离为900千米；

（2）由图象可得，两车同时出发后4小时相遇；

（3）线段CD表示的实际意义是快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地；

（4）慢车的速度为：900÷12＝75km/h，快车的速度为：900÷4﹣75＝225﹣75＝150km/h，即慢车和快车的速度分别为75km/h、150km/h.

评析  上述为与一次函数图象联系紧密的两车相遇问题，探究解析要理解图象中的关键点的含义，根据特殊点、函数变化趋势来解析运动过程.问题求解时，可以采用拆解的方式，结合对应函数性质分析.

4  结语

总之，函数图象信息探究解读时，可分三步进行：第一步，明细坐标轴，理解函数所表示含义；第二步，提取函数变化的关键信息，如变化趋势、特殊点等；第三步，结合几何、函数等知识进行探究解读，构建解析思路.