初中数学二次函数动点问题解题方法探究

高学贤

【摘  要】  初中数学二次函数动点问题主要涉及与角、三角形、四边形相关的问题，求解此类问题，需要依据二次函数性质，判定是单动点还是双动点，找出变量与不变量，作图并分类讨论，综合运用多种数学思想方法，有效求解.

【关键词】  初中数学；二次函数；动点问题

1  与角相关的二次函数动点问题

此类动点问题主要是等角型动点问题，即在抛物线上或某区域内找一个或几个动点为顶点构建已知角度的角.解决此类问题主要依据等角特点来构建三角形外接圆、平行四边形，再利用圆周角性质等进行解题.

例1  如图1所示，二次函数与轴交于，与轴相交于，连接PM、PN.

（1）求二次函数解析式；

（2）若Q点在抛物线对称轴上移动，求满足的Q点坐标.

解析  （1）容易求出函数解析式；

（2）需考虑Q点在PN上方或下方面两种情况：

①Q点在PN线段下方时，

抛物线和MN线段的对称轴是，可容易求出PN的直线方程是，容易求出对称轴与直线交点，

则D点是的外接圆心，以DN为半径作圆，则圆与抛物线对称轴交点就是所求Q点坐标.

因为，所以.

②Q點在PN线段上方时，运用同样方法求解，可得出.

2  与三角形相关的二次函数动点问题

此类动点问题包括与特殊三角形性质、三角形面积、周长、相似性质相关的动点问题，求解方法主要运用解析法、切割法、几何法等方法求解.

例2  如图2 所示，二次函数经过三点.

（1）求二次函数解析式；

（2）当点M是抛物线对称轴上动点时，求为等腰三角形时的点M共有几个？

解析  （1）容易求出二次函数解析式是，抛物线对称轴是.

（2）由于M是动点且在抛物线对称轴上，可设其坐标是，在本小题中，需要对分情况进行讨论：

①如果AB为底构建等腰三角形，则，

过AB的中点作其垂线并与对称轴交于M点，

容易求出DM直线的表达式是，

∴可求得M点坐标是.

②如果AB为腰、为顶角来构建等腰三角形，则容易求出，

过MB中点作垂线，同样可求出M点坐标是.

③同理，如果AB为腰、为顶角来构建等腰三角形，

可求出M点坐标是，

因此符合条件的M点共有5个.

3  与四边形相关的二次函数动点问题

此类动点问题主要是求解四边形面积或周长的最值问题，主要通过构造特殊四边形及利用多种方法和四边形性质等来解题.

例3  二次函数过点，其顶点是，如图3所示.

（1）求二次函数解析式；

（2）二次函数与轴交于A点（与P点不重合），与轴交于B点，点C是直线位于轴下方一点，D是上一点，如果A、B、C、D能构成菱形，求值是多少？

解析  （1）易求出函数解析式.

（2）本题是“两定点两动点”构建菱形问题，解题时可把两个定点间线段作为菱形一条边或对角线，再利用其性质解题.

易求出：.

直线与轴交于，

所以为等腰直角三角形，，

因为D是反比例函数上一点，C点位于直线下方，所以D点只能在一、三象限，需分类讨论：

①把AB、AC作为一组邻边构建菱形ABDC，则D点位于第三象限.

过D作轴垂线交于Q点，在中易求出，，

可求出D点坐标，

因为D点是上一点，

所以.

②把AB作对角线构建菱形AD1BC1，则D1点在第一象限，

设其坐标为，在中用勾股定理易求出，

再利用两点间公式，

所以 ，，.

所以或.

4  结语

总之，动点问题是二次函数解题的难点，也常是中考数学压轴大题，需要教师高度此类问题求解，在二次函数动点问题解题时，利用二次函数图像性质，掌握动点问题解题思路，综合利用多种数学思想与方法，就能有效提高动点问题解题效率.

参考文献：

[1]杨周.初中数学二次函数动点问题教学模式[J].新课程教学，2022（6）：44.

[2]刘旭鹏.初中数学二次函数动点问题的教学要点[J].新课程，2021（14）：111.