基于不同运算能力与作图能力抛物线研究

李亚玲

关键词：抛物线；作图能力；运算能力

  一、问题提出

抛物线在义务教育学段、普通高中学段都是重要内容。义务教育学段、普通高中学段有什么不同呢？我国的心理学家对学习的分类倾向于按知识学习、技能学习、能力学习和道德与行为规范学习来分类。根据曹才翰、章建跃《数学教育心理学》数学学习分类：认知、能力、态度三分框架[1]，从知识的不同，运算能力与作图能力的不同研究义务教育学段、普通高中学段抛物线的不同。

  二、知识方面的不同

义务教育学段抛物线是作为二次函数的图象进行学习。义务教育阶段对抛物线的研究只是初步的研究，首先通过具体情境，寻找两个变量代数关系的共同特点，从而通过两个变量代数依赖关系（函数表达式）定义什么样的函数是二次函数：“一般地，形如y=ax■+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数”，函数是从数量的角度反映变化规律，这揭示函数的本质特征——联系和变化。然后，通过列表、描点、连线画出二次函数的图象——抛物线，再观察二次函数的图象——抛物线，再从直观上得出二次函数的性质。函数的图象与性质是函数理论的主体，通过函数图象和性质的研究从数量和图形相互联系中，显示出函数的本质特征——联系和变化。

义务教育学段对函数的学习并没有明确函数的单调性、奇偶性、极大（小）值，仅仅根据图象——抛物线的特点研究函数的性质：轴对称性、函数上升或下降趋势即“y随x的增加而增大（减小）”。二次函数的图象（抛物线）具有的轴对称性暗含了函数的奇偶性，而y随x的增加而增大（减小）实际描述了函数的单调性，顶点体现了函数的极值。虽然初中学段对二次函数的性质的研究是不完整、不系统、不全面，但已经体现从函数图象的几何特征来描述这一类函数所具有的性质，从图形的角度认识函数。充分体现数与形的结合。

高中数学课程，抛物线是解析几何部分的重要内容，解析几何是用代数的方法为工具来研究几何问题，抛物线的学习是在学习了椭圆、双曲线之后，从图形特征上定义的又一类圆锥曲线。

首先，回顾：动点M到定点F的距离与动点M到定直线l的距离之比K，当O＜k＜1时，点M的轨迹是椭圆；当k＞1时，点M的轨迹是双曲线。自然地提出：当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，动点M的轨迹是什么形状？

然后，分析动点M满足的几何条件：即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等，将动点M转化为定直线l的上的动点H的垂线与线段HF垂直平分线的交点，然后利用信息技术画出动点M的轨迹，发现动点M的轨迹与二次函数的图象相似。从而从抛物线的几何特征上定义了抛物线：

“我们把平面内与定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”。

高中数学课程对几何图形抛物线的研究通过解析几何方法：借助抛物线的几何特征，建立合适平面直角坐标系，导出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），然后用方代数的方法研究抛物线的几何特征及与其他直线、曲线的位置关系，体现形与数结合。

  三、能力的不同

  （一）运算能力的不同

数学运算包括：理解运算对象（数、字母（代数式））、掌握运算法则、究运算思路、求得运算结果[2]。

义务教育学段抛物线的学习中，数学运算对象主要是具体的数、字母，分别表示的是自变量的具体值，项的式系数，或者在运算的过程中由具体推广到一般，这符合该学段学生的认知规律[3]。

例如，在研究二次函数的图象及性质中列表的过程，先给定自变量的值，能根据函数的表达式求因变量的值，运算是具体数的四则运算。

又如在求二次函数的表达式y=ax2+bx2+c时，常用方法是待定系数法。

例：如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。

将具体的点的坐标（-1，10），（1，4），（2，7）代入函数解析式，得到关于参数a，b，c三元一次方程组a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7，然后再解方程组，得到a，b，c的值，a=2，b=-3，c=5，从而得到二次函数方程y=ax2+bx2+c的具体表达式y=2x2-3x+5。

再如，在学习二次函数y=ax2+bx2+c图象和性质时，先研究系数为确定的常数y=■x2-6x+21的图象和性质，并通过数学运算，将y=■x2-6x+21配方，得到y=■（x-6）2+3，从而运用已经掌握的二次函数y=a（x-h）2+k图象及性质，来确定函数y=■x2-6x+21的顶点、对称轴后，然后再根据二次函数的对称性，再列表、描点、连线画出函数的图象。然后再一般化，将二次函数y=ax2+bx2+c进行配方，将函数表达式化为y=ax+■■+■，然后根据y=a（x-h）2+k的图象及性质，得到二次函数y=ax+■■+■的对称轴为x=-■，顶点坐标为■，■，这一过程中，学生经历的数学运算是从具体到一般。

学生在这部分的学习过程中，经历这些有效的数学运算活动，掌握了利用待定系数法求解二次函数表达式，利用配方法将二次函数表达式进行恒等变形，将学习就近区域进一步提升的基本技能、基本方法，并能由此得到二次函数相应的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标以及y随x的变化如何变化等。

高中数学抛物线的学习，数学运算对象是表示两点间距离和点到线的距离的代数式，数学运算更具有一般性，是對满足到定点和定直线距离相等的点所具有的共同特征的研究。这也符合高中学段学生的认知水平[3]。

是在根据几何特征绘制出抛物线的基础上，根据抛物线的对称性，建立合适的平面直角坐标系：然后在平面直角坐标系内用坐标（x，y）表示点，并代数式表示出两点间的距离和点到直线的距离，所以高中数学的运算对象是代数式，高中数学的运算更具有一般性。利用抛物线的定义写出方程，根据方程的特点，对方程两边平方，进行有理化、化简，从而得到抛物线标准方程。利用代数的方法研究几何元素之间的关系，M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d，由抛物线的定义可知抛物线是点的集合   P=M|MF=d

MF=■+y■，d=x+■

所以 ■+y■=x+■

将上式两边平方并简化，得 y2=2px（p＞0）

高中学段，运算对象是点到直线的距离、两点间的距离，运算对象的关系是由抛物线的几何特征来决定。运算的思路是有理化（等式两边平方）。求得的运算结果具有一般性。这些都是与义务教育学段所不同。

高中数学课程，抛物线是在学生具有了一定的尺规作图能力基础上，初中掌握了作线段的垂直平分线、直线的垂线的等基本尺规作图方法，加之高中学段已经具有绘制椭圆、双曲线（机械作图和利用信息技术作图）经历，进一步画出满足到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹，并且高中学段的学生通过前面的学习已经熟练地掌握信息技术的在作图方面的应用（根据几何特征，利用GGB软件绘制满足条件的动点的轨迹）。

义务教育学段画抛物线，是利用函数关系，通过列表、描点、连线过程画出二次函数的图象——抛物线，高中学段是根据抛物线的几何特征：到定点和定直线距离相等画出几何图形——抛物线。

  四、教学设计、实施的不同

  （一）《二次函数y=ax2图象和性质（第2课时）》教学设计节选

类比一次函数的研究内容和研究方法探究二次函数y=ax2图象和性质

问题1类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y=x2的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？

师生活动：学生用描点法画二次函数y=x2的图象，此时教师巡视过程中关注学生能否选取适当的自变量的值（学生是否能均匀对称取值，图象的形状不明时，学生是否知道通过加密点来画图），描点连线，正确画出图象。

若存在问题教师继续追问。

追向1：你应如何取值、描点、画图的？

追问2：你打算从哪些角度去观察、概括特征？

师生活动：

1.概括特征：教师引导学生尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述二次两数y=ax2的图象特征，教师给出抛物线的相关概念：

二次函数的图象是一条抛物线，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。

2.从图象上看函数随自变量的增大如何变化。

设计意图：教师引导学生概括观察的角度和方法，以抛物线y=x2为观察对象，了解抛物线的相关概念，并尝试探究具体的二次函数y=x2的性质。

问题2在同一直角坐标系中画出函数y=■x2、y=2x2的图象，函数y=■x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？

师生活动：学生独立用描点法画出函数y=■x2、y=2x2的图象。

追问1：这两个函数的图象有哪些共同点？

师生活动：类比研究二次函数y=x2的角度和方法，尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点等方面分别描述函数y=■x2、y=2x2的图象特征。

追问2：这种共同点是由什么因素引起的？

追问3：这两个函数图象有哪些不同点？是由什么因素决定的？

归纳：当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？

师生活动：引导学生归纳：一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小。

设计意图：经历从特珠到一般的研究过程，归纳出二次函数y=ax2的图象特征。

后续略

  （二）《抛物线及其标准方程（人民教育出版社A版）》教学设计节选

1.创设问题情境

在椭圆和双曲线学习中，我们知道了椭圆、双曲线的定义，并用方程表示曲线，通过方程描述曲线上的点，进而将几何问题转化为代数问题，用代数方法对椭圆和双曲线进行定量研究。

并且通过学习发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（l不经过点F）的距离之比为K，当0＜K＜1时，点M的轨迹是椭圆；当K＞1时，点M的轨迹是双曲线。那么K=1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l相等时，点M的轨迹会是什么形状？

2.抛物线概念的获得

问题1：利用信息技术作图，如图1，F是定点，l是不经过F点的定直线，H是直线上l任意一点，过点H作MH垂直于l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察M的轨迹，在你熟悉的图形中有与此类似的吗？你能发现点M满足的几何条件吗？

师生活动：引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系，并利用信息技术工具进行操作，拖动点H，观察点M的轨迹及相关数据的变化规律。

追问：（1）动点M是如何获得的？

（2）线段FM和线段MH的几何意义分别是什么？

（3）变化的量有哪些？变化的顺序如何？变化中是否存在不变的关系？

（4）当直线经过点时，线段的垂直平分线与过的定直线的垂线是什么位置关系？

在此基礎上得出抛物线的概念

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

设计意图：通过对问题1的探究及四个追问，引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特征，抽象出抛物线的概念，发展学生的数学抽象素养。

在椭圆和双曲线学习中，我们知道了椭圆、双曲线的定义，并根据椭圆和双曲线的对称性建立坐标系，得到了椭圆、双曲线的标准方程，用方程表示曲线，通过方程描述曲线上的点，进而将几何问题转化为代数问题，用代数方法对椭圆和双曲线进行定量研究。

问题2：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求的抛物线的方程形式简单？并求解抛物线的方程。

师生活动：观察图1中的拋物线形状，教师引导学生直观发现抛物线的对称性，建立平面直角坐标系，学生自主推导抛物线方程。教师展示给学生所求的三种不同形式的抛物线方程。

（1）根据抛物线的几何特征，以点F为原点，以经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，建立平面直角坐标系Oxy，如图2所示

焦点F的坐标为：（0，0），准线l的方程为x=-p

设M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d，则抛物线是点的集合：

P=M|MF=d  MF=■+y■，d=x+p

■+y■=x+p，

整理得x■+y■=（x+p）■  y■=（x+p）■-x■=2px+p■

（2）根据抛物线的几何特征，以经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy，如图3所示，设KF=p（p＞0），则焦点F（■，0），准线l的方程：x=-■，抛物线上任意一点M（x，y）  P=M|MF=d

MF=■）■+y■，d=x+■

■+y■=x+■，

整理得（x-■）■+y■=（x+■）■

y■=（x+■）■-（x-■）■=2px  即：y■=2px

（3）根据抛物线的几何特征，以经过点F且垂直于直线l的直线为X轴，垂足为K，并使原点与K重合，建立平面直角坐标系Oxy，如图4所示，设KF=p（p＞0），则焦点F（p，0），准线l的方程：x=0，抛物线上任意一点M（x，y）

P=M|MF=d

MF=■+y■，d=x

■+y■=x，

整理得（x-p）■+y■=x■  y■=x■-（x-p）■=2px-p■

即：y■=2px-p■

追问：1.类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？

2.三种不同形式的抛物线方程哪个更加简单？为什么？

3.三种不同形式的抛物线方程是否有联系？

在学生充分思考与推导的基础上，对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学生确定y2=2px（p＞0）作为抛物线的标准方程，同时写出焦点坐标和准线方程。

义务教育学段和高中学段抛物线知识不同：义务教育学段抛物线是作为二次函数的图象进行学习；高中学段，抛物线是解析几何部分的重要内容。两个学段由于学生的年龄、思维的发展水平的不同，这两个学段对运算和作图能力的要求有所不同：义务教育学段对二次函数的图象——抛物线的学习是运算能力在先，作图能力在后，是从数到形；高中学段，几何图形——抛物线的学习，作图能力在先，画出抛物线后，建立合适的坐标系，从而根据抛物线的几何特征建立抛物线的标准方程，运算化简在后，是从形到数。这些不同符合认知规律，又符合数学知识的逻辑性、连续性和系统性[4]。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.著数学教育心理学（第3版）[M].北京师范大学出版社，2018.，10：33，34，35.

[2]史宁中，王尚志主编.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].高等教育出版社2018.5：128.

[3]郭玉峰，刘春艳，程国红.著数学学习论[M].北京师范大学出版社，2015，7：150，152.

[4][美]戴尔·H申克著，何一希等译.学习理论[M].江苏教育出版社，2014，4：309，310.

（作者单位：中国音乐学院附属中等音乐专科学校）