教学案例：探究茶水的最佳饮用时间

杜耀宗

摘要：高中数学教学中建模活动——探究茶水最佳饮用时间是高中数学必修模块第一册中的新增内容，也是落实“四基”“四能”的良好素材。以探究茶水的最佳饮用时间为背景切入，从情境设计、数据收集、猜想验证、汇报展示以及最终的优化反思几大方面开展教学设计，综合利用实践操作法、任务探究法，带领学生建立函数模型解决实际问题，帮助学生增强建模意识，掌握数学建模的一般方法和基本的数学思想，希望增强学生的应用意识，提升学生的创新能力，更好地发展学生的数学学科核心素养

关键词：高中数学  人教版   数学建模  实践

一、教学准备

（一）教材分析

探究茶水最佳饮用时间是人教版高中数学必修一中的内容，其教学重点在于引导学生建立数学模型解决实际问题。对于高中阶段的数学教学来说，需要引导学生从对数学知识的直接应用，发展为自主完成数学知识的学习拓展。[1]在本节课探究茶水的最佳饮用时间中，主要带领学生在学习了指数函数、对数函数和幂函数的基础上建立建模意识，使其能够运用函数模型解决实际生活中的现实问题。借助数学建模活动的有效开展，能够帮助学生有意识运用数学语言来探索世界，发现问题，提出问题和解决问题。

（二）教学目标设计

在教學目标的设计上，本节课的目标划分为以下几大方面：第一，要带领学生在现实问题中，学会收集信息、分析信息，并能对现实问题进行一定的数学抽象，从中建立与其相适应的函数模型，能够利用信息技术求解模型并对模型进行验证和优化，从而最终解决现实问题。第二，带领学生在数学建模和探究活动中感受和体会数学知识与现实世界之间的联系，增强学生的应用意识，培养学生的创新能力。[2]

（三）学情分析

在探究茶水的最佳饮用时间一课中，能够结合学生已有的生活经验和认知基础，同时，在课前学生已经学习过指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识，能够基本掌握函数模型的应用方法和操作步骤，这也为本节课的自主探究奠定了基础。[3]因此，在本节课的重点设计上，是引导学生结合具体问题，完整开展数学建模活动；在教学难点上，主要为函数模型的检验与优化；在学习方法上主要通过学生的自主探究、团队合作以及教师的启发引导完成相应的任务。

二、教学过程——探究茶水的最佳饮用时间

（一）情境设计

在教学开始前，教师以茶文化为切入，带领学生观看相关的视频，结合茶水最佳饮用时间的背景知识，得出相应的结论。对茶水口感起到最直接影响的因素为茶叶的种类和水的温度，而水的温度对茶口感的影响较为明显。一般来说，泡制茶叶时需要采用85℃的水进行冲泡，而当水温降至60℃时，此时饮茶口感最佳。结合这一背景知识，教师可以带领学生思考，在正常室温条件下一杯300毫升的茶放置多长时间才能达到最佳饮用的60摄氏度，结合这一问题，教师带领学生思考这一问题中有哪些变量，且变量之间的各自关系是什么？

设计意图：在导入环节，以茶水的最佳引用问题为案例切入，能够带领学生将数学知识与实际生活相联系，激发学生的学习兴趣，将实际的问题进行简化和抽象，为后续函数模型的建立奠定基础。

（二）数据收集

教师可以将班内学生划分为不同的学习小组，以各个小组为单位进行相应的实验，收集茶水温度随时间变化的相关数据，并将数据记录在相应的表格内，完成数据的收集整理。让学生亲自收集实验数据，激发学生的探索积极性，培养学生的信息获取能力。在收集茶水温度时，可以以一分钟为时间间隔。

设计意图：对于数学建模来说，收集数据是其基础，也是学生培养建模思维的必备能力之一。通过亲身实验获得相应的数据，能够有效提升学生的数据分析能力，也能使学生以数学的眼光观察世界，有利于增强学生的数学抽象能力。

（三）猜想验证

在完成数据收集和整理后，教师可以带领学生结合计算机软件将其中的数据输入到制图软件GeoGebra中，以时间为横轴，以水温为纵轴，制作相应的散点图，并由各组学生进行讨论，对制作完成的散点图进行直观描述。通过这种形式，带领学生掌握更加准确的数学语言，也能通过直观的描述，尝试使用函数解析式进行拟合刻画。

设计意图：通过收集数据绘制数据表格，将数据以图表的形式直观表现出来，再将图表以函数解析式的形式展现出来。这种从具体到抽象的探索过程，能够增强学生的直观想象力和数据分析力。

（四）汇报展示

在进行数据图表的绘制时，需要进行一定的误差分析，并结合现有数据预测30分钟后的水温，然后进行验证。教师可以组织各个小组，结合一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等不同的函数模型进行猜想验证，并让各个小组分别派代表将各自的验证结果进行展示。

教师要对各组的讨论情况进行总结分析，引导学生认识到数学建模的目的在于对现有数据进行函数模型拟合的基础上，对数据的未来发展趋势进行预测。

在探究茶水最佳饮用时间的一课中，建立相应的模型是本节课的重点，也是数学建模活动的关键。对此，需要教师以核心任务为驱动，为学生创设相应的实践操作机会，引导学生通过探究发现、合作学习、交流分享、亲身经历，利用数学软件GeoGebra进行模型建立，并通过模型验证的过程，增强学生的问题分析能力和问题解决能力。

（五）优化反思

结合上述各个小组的验证分析和对四种不同函数解析式的讨论分享，再进一步筛选和优化后确定更为适合的两种模型，然后再将这两种模型进行对比，从这两种函数模型中选择拟合效果更好的一种。为验证模型，教师可以为学生提供相应的计算机软件，带领学生借助软件编程，在合作与交流中选取具有代表性的点再次精确计算，并对其中的参数进行适当调整，进而对模型进行优化和修改，使其达到更好的拟合效果。最后，在探究完成后，教师要组织学生以小组为单位完成茶水最佳饮用时间的研究报告。

设计意图：通过规范的研究报告，引导学生总结分析本次数学建模的过程，并能对数学建模活动的全流程有清晰的认识，也有利于增强学生的探究意识，培养学生的科学精神。

三、教学反思

（一）要发挥信息技术的应用优势

在高中数学教学中，对于一些建模问题，教师需要引入现代信息技术，发挥计算优势，对学生的探究活动起到补充作用。这也能使学生认识到信息技术手段的优势，教师要指导学生运用计算机软件，并在数据的收集和计算时，保证方法的科学，数据的准确，进一步高效率处理数据、分析验证模型。

（二）要尊重学生学习的主体地位

在课堂教学上，要坚持以学生为主体，以教师为主导的教育思想，引导学生将数学知识与实际生活紧密相连。教师要结合实际情况，设计相应的建模问题，真正将课堂的学习主动权交给学生，鼓励学生自主学习，合作探究。教师可以结合本班学生的学习基础和学习需求，积极拓展丰富多样的教学形式，鼓励学生开展数学建模竞赛，参与数学建模社团等相关活动，在实践活动中增进学生的数学学科核心素养。

（三）要丰富评价考核的形式内容

在教学中评价考核，也是影响到教学效果的重要因素，教师在对教学效果进行考查时，需要综合运用多种方式，既要关注学习成果，也要关注学习过程。并且，在学生合作探究时，教师要给予学生鼓励和支持，要适当的对学生及其小组进行点评，进一步增强学生的积极性主动性，使学生能够更充分地参与其中，真正构建高效课堂。

参考文献：

[1]陆天仪.聚焦问题引领，提升建模素养——以“茶水最佳饮用时间”为例[J].数学之友，2022，36（09）：38-40+44.

[2]韩慧.“数学建模活动”——茶水最佳饮用时间”教学设计[J].中国数学教育，2021（06）：28-32+42.

[3]王保东. 体验数学建模完整过程 发展数学学科核心素养——对“数学建模活动——茶水最佳饮用时间”一课的教学点评[J]. 中国数学教育：高中版， 2021（3）：3.