基于化归思想的高中数学教学设计研究

郭茂彭

摘 要：基于化归的数学思想方法，以“基本不等式”内容为研究对象，通过“创设情境，引入新知；活用化归，证明结论；例题巩固，迁移内化；归纳总结，概括思想”四个环节进行教学设计，在尊重学生认知水平的基础上，将化归思想渗透到教学设计中，让学生经历知识的发现、探索、证明、理解、应用、总结的过程，在亲身实践的过程中体悟化归思想的优势，理解化归思想的真谛，使得化归思想得到有效的培养.

关键词：化归思想；基本不等式；教学设计

化归思想是解决数学问题的最一般方法.其基本思想是在解决复杂问题的过程中，将该问题转化为比较熟悉的问题，借助自身知识和已有经验来解决，本质是一种将未知转化为已知，将复杂问题简单化的一种微观的、隐性的数学思想方法，它往往蕴含在知识生成和应用的过程中.

在数学学习的过程中，数学知识本身固然重要，但其产生发展所蕴含的数学思想方法也不能忽略.如果仅仅关注数学知识而对于知识如何产生视而不见，那么对于长期的数学学习是没有帮助的.而教学作为知识传授的最重要的途径之一，自然会潜移默化地影响着学生化归思想的培养.因此在教学设计的过程中，时刻渗透化归的思想显得尤为重要.基于此，笔者聚焦于高中数学“基本不等式”这部分内容，结合化归的数学思想方法，为教学设计提供合理方案.

1 基于化归思想的教学设计思路

化归思想蕴含在知识生成和应用的过程中.实际上，无论哪种数学思想方法，都不可能像数学知识和理论一样，直接通过教师的讲授让学生理解.这个过程需要学生在学习的过程中自行感悟，因此针对本节课的教学设计需要将化归思想渗透在其中，让学生切实感受到化归思想给数学研究带来的帮助.此外，教师在这个过程中需要对学生进行适当的启发和引导，在保证不破坏学生自然思维的情况下，尽可能地给予学生思维上的帮助.

以苏教版教材为例，“基本不等式”这一节位于必修一第三章《不等式》的第二节，主要研究基本不等式证明以及将此式用于证明、最值问题，是理论与实际结合的一个重要案例，是贯穿整个高中代数内容的一个重要基础.这节内容一定程度上是不等关系和相等关系的应用，也是系统学习不等式证明的一个基础，基本不等式在证明其他不等式的过程中起到了重要的桥梁作用［1］，因此地位十分重要.如何证明和应用基本不等式，是教学的重点；如何理解基本不等式的形成过程，是教学的难点.因此，渗透化归思想，将基本不等式转化为学生比较熟悉的代数或几何形式，更有助于学生深刻地理解本节内容.

基于上述分析，结合国内现行各版本教材，最终将教学设计分为如下几个环节：

图形引入—证明结论—迁移内化—归纳总结

首先是情境引入环节，代数相较于几何来说较为抽象，且学生习惯于从几何图形中抽象出一般结论，考虑到数形结合思想也是化归思想的一种体现，因此选择从几何图形进行引入从直观的几何图形归纳出代数结论，也符合现阶段学生的认知水平.抽象出代数结论后，此时就可以通过观察代数形式，在教师进行适当引导下，将陌生的代数式转化成学生比较熟悉的代数式或者几何图形，再结合所学知识对基本不等式进行严格证明，这个过程中再次渗透了化归的思想.得到结论后，学生通过习题进行内化，加深了对基本不等式的理解.最后进行归纳总结，这部分不仅是对本节知识的总结，更是对化归思想方法的总结.

2 基于化归思想的“基本不等式”教学设计

2.1 创设情境，引入新知

问题1：在初中学习中，我们学习了梯形和三角形中位线的概念.四边形ABCD是一个以AB和CD为底的梯形（如图1），AB=a，CD=b，不妨设a＜b，若取AC和BD的中点分别为E，F，连接EF，EF称作为梯形ABCD的中位线，那么EF的长度为多少？（可以利用三角形的中位线进行思考）

【设计意图】现阶段学生没有接触函数最值的内容，解决该类问题会遇到困难，因此将该陌生问题化归为已经学过的基本不等式的问题，深化了基本不等式的应用范围，体现了基本不等式在解决特定最值问题的便捷之处.先研究特殊情形，再研究一般情形，总结出基本不等式“和定积最大，积定和最小”的规律，提升学生逻辑推理、数学运算等核心素养.

2.4 归纳总结，概括思想

问题6：本节课我们学习了什么内容？是怎么进行研究的？

问题7：研究问题的思路都是将未知的内容转化为已知的内容进行解决，这实际上也是化归思想的应用，那么大家能否结合本节课的研究思路，对化归思想的一般方法进行描述？

问题8：基本不等式还能通过其他几何图形进行证明吗？请同学们课后探索.

【设计意图】课堂总结首先需要先对知识进行总结，从知识层面，学习了基本不等式的证明和应用，接着对本节课的研究方法进行总结，从方法层面，学习了化归的数学思想.化归思想有三个要素：未解决的问题（对象）、已解决的问题（目标）、转化的途径（方法），关键是如何化归［2］.化归思想的本质是把不易解决或未解决的问题转化为易解决或已解决的问题，把复杂的问题转化为简单的问题.师生共同概括化归思想的一般方法，加深学生对于化归思想的理解.最后，设置课后探索环节，使得学生能利用化归的思想方法自行探索，拓展对于基本不等式的认识.

3 总结与结论

从形式上来看，基本不等式的难度并不大，但学生很难想到如何进行代数运算，或是基本不等式具有何种几何背景.上述教学设计可以让学生从几何情境中提炼数学信息，加深对于基本不等式公式的记忆，同时将陌生的公式化歸为已经学过的知识来证明，再根据习题进行强化，最后总结归纳.按照这样的教学设计思路，让学生经历知识的发现、探索、证明、理解、应用、总结的过程，有效培养的学生的化归意识和推理能力.

化归思想在数学的研究和学习中，有着不可撼动的地位，很多知识产生的背后都渗透着化归思想.化归无疑是将问题简单化，用熟悉的知识去解决陌生的问题，但对于教师来说，教材上的所有知识都应该是熟悉的，这就需要站在学生的角度去看问题，换位思考.在熟悉教材内容的基础上，着重思考如何借助学生熟悉的知识解释那些对于学生来说陌生的知识，并将这个过程渗透在教学实践的过程中，让学生充分体悟化归思想的优势，理解化归思想的真谛，从而真正意义上教会学生如何学习.

参考文献：

［1］ 易星星.基于数学核心素养 落实课堂提质增效——以“基本不等式”的教学设计为例［J］.中学数学教学参考，2022（22）：2931.

［2］ 王燕荣，韩龙淑，屈俊.基于启发式教学的数学思想教学设计——以“化归思想”为例［J］.教学与管理，2015（1）：5759.