对“椭圆中由两垂直直线引出的‘包络’”再研究

周雅俊

笔者在《椭圆中由两垂直直线引出的“包络”》一文中得到这样一个结论：在平面直角坐标系中，圆的方程是x2+y2=r2r>0，由点Mx0，y0引两条相互垂直的动直线MP、MQ，这族直线PQ的包络线是一个椭圆，以原点O0，0和点M（x0，y0）为焦点，長轴长是2r2－x20－y20.在此基础上类比椭圆，提出过这样一个猜想：在平面直角坐标系中，椭圆的方程是x2a2+y2b2=1a>b>0，由点Mx0，y0x20a2+y20b2<1引两条相互垂直的动直线MP、MQ，与椭圆相交于P，Q两点，这族直线PQ的包络线是一个椭圆，其以Mx0，y0和点c2a2+b2x0，－c2a2+b2y0为焦点，长轴长是2aba2+b2－x20－y20a2+b2.显然圆中的结论是椭圆的猜想的特殊情况，所以只需要证明椭圆中的猜想即可.这个猜想之所以难以证明，是因为所得的椭圆方程不是标准方程，由某个椭圆的标准方程变换得到也比较困难.再三探究，笔者翻看教材时，在椭圆的光学性质处得到启发，得以证明.整理成文与读者分享，不当之处期待方家的指正.