一道高三模拟题的思路探究与拓展

樊陈卫

一、问题给出

题目 在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：x2+y2=1，C：x+12+y2=9，直线l与圆O相切，与圆C相交于点A、B两点，分别以点A、B为切点作圆C的切线l1、l2，l1、l2交点为P，则OP的最小值____.

A.9 B.7 C.37 D.72

这道题是江苏省海门中学、苏州中学、淮阴中学、姜堰中学四校高三联考的单选压轴题，答案为D.我校学生在该题的得分率高达0.74，如此高的得分率是否与本题在试卷中起到单选压轴作用的地位不太匹配呢？和学生交流后发现，多数学生得到正确答案的方法是观察圆O上的切点D在原点O左右两侧的特殊情形，如图1、2，再与动点D位置一般情形如图3比照，凭直觉猜想得当D在O点右侧时OP有最小值，此时如图2，在Rt△CAP中，由射影定理得CA2=CD·CP，易得CP=92，则OP最小值为72.

對于本题的命题意图与学生临场表现的出入，作为任课教师，笔者首先感到欣慰的是学生没有被压轴题的位置所吓到，而是敢于面对勇于胜利，也贯彻了善于从特殊情形探索问题的结论和解决问题的思路这个数学思想方法.同时作为考后回顾，也有必要带领学生对这道题目进行深入的探究，获得对问题的本质理解.

二、结论证明

OP有最小值为72这一结论的获得比较轻松，但证明就没有那么容易了，从哪里入手？有学生从平面几何的角度来思考：

师：困难在于线段OP的长与点A、B为切点不容易直接关联，如何利用“点A、B为切点”这一条件？

生：应该连接CA、CP，CP与AB交点为M.如图4.

师：很好，结合“点A、B为切点”这个条件看看有什么发现？

生：CA2=CM·CPCP=9CM .

师：能不能先确定CM的范围，进一步确定CP的范围？

生：CM由圆O的切线l确定，引入l与x轴夹角∠DEO=α，当点E在点O右侧时，考虑0<α<π2，OE=1sinα，由ΔODE∽ΔCME，得CMCE=ODOE，得CM=1+sinαCP=91+sinα，当α越大，CP越小，当α→π2时，CP→92，此时CP>92；再如图2，当α=π2时，CP=92；当l与x轴平行，CM=1，CP=9；当点E在点O左侧时，考虑0<α<π2，由与点E在点O右侧时类似方法可得CM=1－sinα，CP=91－sinα，此时CP>9；再如图1，当α=π2时，P点不存在.综上，CP有最小值92.

师：很好，这个结论从图上看显而易见，但说清楚逻辑关系也要费一番功夫的，它对我们要解决的问题有帮助吗？我们要求的是OP的最小值.

生：再考虑CP与OP的关系：OP≥CP－OC=CP－1.

师：CP与OP的关系还有其它的表达方式，由求解的问题确定选择上述关系.

生：对，进一步有OP≥CP－OC=CP－1≥92－1=72，即OP≥72，l在圆O上切点D为1，0时，不等式取等号，故OP最小值为72.

师：很好.这个解法中CP连接已知和所求的桥梁，大家可以从CP的作用体会解题的思路.另外，从前面的解题过程中大家能感觉到动点P的轨迹是什么曲线吗？

生：感觉CP的长可以是无穷的，有可能是抛物线或双曲线？

师：到底是不是抛物线或双曲线，需要求出轨迹方程，要从解析几何的角度去探究了.

三、轨迹方程

思路1 直线l于圆O是切线，对于圆C是关于圆外点P的切点弦，可以从这两个角度表示出直线l的方程，解法如下：

解法1：直线l的方程变量x、y的系数不同时为0，不失一般性，不妨设其方程为kx+y+t=0，由直线l对于圆O是切线，d=t1+k2=1，即l为kx+y±1+k2=0（*）.设点P（x0，y0），过P（x0，y0）的切点弦方程为x0+1x+1+y0y=9，整理得x0+1x+y0y+x0－8=0（**）.

由（*）与（**）是同一个方程，故x0+1=y0k，

x0－8=±y01+k2，消去k得到y0 2 = -18x0  + 63.即点P的轨迹为抛物线y2=－18x+63.

思路2 以CP为直径构造圆，由PA、PB为圆C的切线可得AB为两圆的相交弦，从而得到直线AB方程.

解法2：设P（x0，y0），从而以CP为直径的圆方程为x－x0x+1+y－y0y=0，化简得x2+1－x0x－x0+y2－y0y=0，与圆C方程相减得到直线AB的方程为x0+1x+y0y+x0－8=0.

由题意得AB与圆O相切，从而x0-8x0+12+y02=1，得y02=-18x0+63.即点P的轨迹为抛物线y2=－18x+63.

两个解法求轨迹方程的总体思路相似，都是设出动点坐标，再利用条件建立含有动点坐标的方程.区别之处是解法1直接由已知条件出发，思路比较自然，计算稍显繁琐；解法2巧妙构造圆方程，使得计算简捷明了.进一步思考如果两圆圆心重合，易得动点P的轨迹为圆，随着两圆情况的变化，动点P的轨迹如何变化？

四、圆锥曲线

要弄清各种情形下动点P的轨迹，需要对原问题进行一般化：

圆O：x2+y2=r2r>0，C：x－a2+y2=R2R>r，直线l与圆O相切，与圆C相交于点A、B两点，分别以点A、B为切点作圆C的切线l1、l2，l1、l2交点为P，则根据原题的方法可得P的轨迹方程为r2－a2x－a2+r2y2－2aR2x－a－R4=0，即r2－a2x－ar2+aR2－a3r2－a22+r2y2－r2R4r2－a2=0①.

当a=0时，圆O与圆C是同心圆，轨迹方程①为x2+y2=R4r2，即半径为R2r的同心圆；

当a

当a=r时，圆C的圆心在圆O上，轨迹方程①为抛物线r2y2－2aR2x－a－R4=0；

当a>r时，圆C的圆心在圆O外，轨迹方程①为中心在ar2+aR2－a3r2－a2，0的双曲线.

五、教学启示

这道题的解题教学过程给笔者如下启示：

首先教师不能只看学生解题结果对错，而是应该关注学生面对问题是怎么想的，做对了是怎么做对的，做错了是什么原因做错的，摸清了学生解题过程中的思维亮点和断点，教师的解题教学才能有的放矢，有明确的针对性.其次，解题教学中，教师要注意引导学生思考的艺术性，针对学生的思维断点，给学生指导下的普适性的提示，让学生能在师生的思维交流中有自己的思考活动.最后，教师应该认识到，高考题大多是将一般性问题特殊化，具体化，只要做好对问题的特殊性与一般性分析，看高考题就能把握其本质.

（本文为南通市教育科学“十四五”规划2021年度课题《基于“再创造”理念的高中数学实验教学实践研究》（编号GH2021211）的教学成果.）