例谈数形结合在求解三角形最值问题中的妙用

车承梅

解三角形中经常会出现求最值或范围类的问题，此类问题有时难度相对较大，有一定的运算量，但是我们可以试着从几何图形的直观性入手，借助于平面几何的知识，将代数问题转化为几何问题去解决，这样可以大大减少计算量，从而达到事半功倍的效果.下面將通过几个实例去探究数形结合在求解三角形的最值（或范围）问题中的妙用.

分析：首先根据条件求出B=π3，如图5所示.取BC中点E，连接DE，则由中位线得性质可知S△ABC=4S△BDE，要想求△ABC面积的最大值，即先求△BDE面积的最大值，由于在△BDE中，我们知道了BD=2，及其对角∠BED=2π3，用例1的方法可求出△BDE面积的最大值为33，故△ABC面积的最大值为433.

评注：此题利用中位线的性质，将△ABC的面积转化为△BDE的面积，使之成为与实例1的相同的情形.其实，本题还可以进行扩展，当点D在线段AC上任意分点位置，都可以作平行线，从而利用相似性转化为实例1的情形去解决，这也是我们常说的“解一题而通一类”.

参考文献

［1］顾乃春.解三角面积最值问题得一般方法［J］.数学教学与研究，2016（04）：60-62.

［2］吴晓明;林清利.解三角形与平面几何图形结合的解题策略［J］.中学数学教学，2022（01）：45-48.

［3］倪阿亮.数形结合 比翼双飞［J］.考试周刊，2021（11），41-43.