从“题目解决”到“问题本质”的探究

蔡瑞卿

一 原题呈现

本题是2022年广东一模第21题，考察学生运用导数工具探索函数性质的能力，解题过程涉及零点存在定理，导数运算及其几何意义，运用导数研究函数的单调性等知识.设问中涉及x1，x2，a，x0四个变量，结构新颖，解题思路开放，解题过程蕴含了数形结合，分类讨论，转化与化归，函数与方程等丰富的数学思想. 第（1）问常规设问答题起点较低，考查学生对基础知识，基本方法和基本技能的掌握，无论是通过分类讨论，还是分离变量法，学生基本上能够理清思路快速解决问题.第（2）问变量较多，解决问题的突破口难以寻找，思路的方向不易寻找，需要学生在把握基本思路的基础上，通过运算找到解决问题的契机，考查到学生分析问题和解决问题的能力，以及逻辑推理，数学抽象，数学运算等核心素养.

点评：证法1顺着问题的思路从零点出发，将方程f′（x0）=f（x1）－f（x2）x1－x2的解的问题转化为g（x）=f′（x）－f（x1）－f（x2）x1－x2的零点问题，运用零点存在定理解决问题，体现了函数与方程的数学思想；证法2通过分析法将方程问题转化为不等式证明，将双变量归一后构造函数证明不等式恒成立问题，体现了函数与方程，以及转化与化归的数学思想.

二 背景分析

该题第（2）问证明的结论实际是大学《数学分析》课程中的拉格朗日中值定理，该定理是高考函数与导数压轴题中的高频选题背景，在近些年全国卷中屡有出现，《普通高中数学课程标准（2017年版）》对高中数学课程的结构进行变革，也在选修课程A类“导数与微分”一章中引入拉格朗日中值定理，指导学生运用拉格朗日中值定理证明不等式，为学生将来步入大学学习高等数学打下坚实基础.这样的调整是对拉格朗日中值定理重要性的有力证明，一线教师应当能够理解运用该定理并将其作为教学教研的有力工具.

拉格朗日中值定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，那么至少存在一点ε∈（a，b），使得f′（ε）=f（b）－f（a）b－a成立.该定理告诉我们，在（1）（2）的前提下，曲线y=f（x）上至少存在一条平行于直线AB的切线.

三 真题举例

近些年以拉格朗日中值定理为背景的高考题频繁出现，例如：

例1 （2018年新高考全国Ⅰ卷理）已知函数f（x）=1x－x+alnx.

综上可见，“把握数学本质，启发思考，改进教学”是新课标的重要理念，高观点背景的发掘和方法的探究，有助于帮助学生揭示问题的数学本质，启发学生找到解决问题的正确方向和先进方法，更加深刻地理解问题，提升学生学习数学的兴趣，具备更广阔的数学视野.为此，一线教师应当把握合适的契机，为学生探究和掌握高观点知识做好铺垫，找准初等数学与高等数学的结合点，为学生学习更丰富的数学知识搭建好的平台.同时，教师只有具备了更多高观点的数学知识，对问题的理解才能更接近本质，进而提升自身专业能力和教学水平.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］胡琳，赵思林.高观点下的高考数学试题分析［J］.中学数学.2019（7）：36-39.

［3］傅海伦，邱心宇.微分中值定理在高考數学导数中的应用及评析［J］.理科考试研究·数学版，2021（12）：28-31.