一道数学联赛预赛题的解法探究

邱际春

2019年全国高中数学联赛广西省预赛第11题是一道平面几何试题：

题目 如图1所示，AD、AH分别是△ABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，点M是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于点E.求证：∠AEB=90°.

此题的主要构形为三角形与圆，涉及圆内接四边形、角平分线及四点共圆的有关性质.文［1］利用相似和到角给出了证明.笔者观察图形的结构特征，结合平面几何中的常用定理及几何变换，从多个视角给出下面几种不同的证明方法.

视角一 利用角平分线、高线的性质，结合倒角和相似转化

评注：考虑到在几何图形中包含中线及多个线段的垂直关系，故可尝试利用中线长公式和勾股定理来寻找对应边之间的关系，从而证明三角形相似，进而利用倒角来证明所证结论.

视角三 巧妙构造外接圆，运用圆的有关性质转化

评注：上述几何图形中存在多组相似三角形，而证明三角形相似的途径有很多.考虑圆内接四边形的性质，可通过构造出另一圆内接四边形，利用切割线定理得到比例线段，进而证得三角形相似，从而倒角即可完成证明.

视角四 利用反演变换的保角性，使其化繁为简证法4：如图5，以A为反演中心，单位长度为反演半径作反演變换.

于是∠B′AD′=∠D′AC′，AD′=D′M′，直线BC的反形为以AH′为直径的圆，要证∠AEB=90°，只需证∠AB′E′=90°.

评注：由于反演变换作为一种几何变换具有互逆性、保角性等独特的性质，常用来证明线段、角等几何量之间的关系.

结语：通过对上述预赛试题的剖析，我们从不同角度来解决这一图形优美、结构简练的几何赛题，进而得到了多种不同方法.由此可以看出，这是一道选拔考生和锻炼学生发散性思维的绝好素材.每年世界各地的奥赛试题层出不穷、浩如烟海，且不乏构思精巧的试题.如果能对赛题深度分析，做到一题多解，将有助于培养创造性思维能力，从而提高解题能力.

参考文献

［1］中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会组编.高中数学联赛备考手册（2020）：预赛试题集锦［M］.上海：华东师范大学出版社，2019：98.