以问题为核心 促进深度学习

陈晋城

向量是描述客观世界规律的重要数学模型，它的应用促进了复数、三角函数、几何等问题的解决，它在高考中可以单独命题也可以渗透于三角或者立体几何中，地位不容忽视.本文以笔者在高三复习课中遇到的一道高考模拟题为例，通过多角度、多层次的分析问题，解决问题的深度学习过程，希望能给给读者带来一些启示.

評注：对解法6、7进一步分析发现，若构造与已知向量“垂直的”、“好用（算）的”向量，则可以不受题目条件是否有包含“垂直”这一条件的影响. 我们常说做数学题“有条件要用，没有条件创造条件也要用”，正是在解法6、7方法的基础上不断改进，发现可以“创造”特殊向量作为消元的“催化剂”.这是数形结合、坐标法、方程思维等综合运用的成果.

4 反思总结

数学解题必须进行有根据的运算和合逻辑的判断，体现数学的求实精神与怀疑的态度，数学解题常常进行“尝试、猜想、辨析”等探索步骤，又体现数学的探索性和创造性.这一切都要求学生以充分的论据去评判事物的真伪，把握事物的内在规律，提高发现事实和反驳谬误的能力，贯穿一种相信自我、理性分析、缜密推理、求实创新的严谨态度［1］.

向量的坐标运算、线性运算、数量积运算都是向量的基本运算，是研究三角、立体几何、复数等的有效方式方法，也是研究物理学、工程学等学科的重要理论工具，因此，我们在教学中必须要能足够重视它.同时，向量运算要求学生熟悉相应的数学情境，了解运算的对象，能够分析已有条件与问题之间的联系，能够分析问题的特征与呈现的形式，提出运算方案，并形成恰当的思维模式，这是数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的本质所在，是当下学生需要提升的能力.因此，向量运算提升核心素养方面的非常好的载体.

本案例中，基于向量的特征，向量运算的学习、研究过程需要学习者在完整而深刻地理解相关数学知识的基础上，全身心的投入、积极探究与建构、理解与批判，并有效迁移与运用已有学科知识及思维方法.如运用方程思维解答本题时，解法6用解方程的思维解答本题，其复杂程度远超坐标法等，解法7将解法6进行改进，把坐标法渗透其中，使思维量、转化过程、计算量都降下来.解法8则创造了“有条件要用”，没有条件创造条件也要用”的解题思想，通过构造特殊的“好用（算）的”非零向量使向量运算特殊化.纵观整个学习过程，进行了“尝试、猜想、辨析、改进”等探索步骤，又体现数学的探索性和创造性.实现深度学习的目的.

参考文献

［1］罗增儒.解题教学是解题活动的教学［J］.中学数学教学参考（上旬），2020（11）：5.

（本文系广东省教育科学规划课题“基于深度学习的高中数学教学案例研究”（课题批准号：2019YQJK500）的阶段性研究成果.）