2022年新高考卷解三角形试题的多解与拓展

杨沛娟　张宇

1.试题呈现

（2022年全國新高考Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2.解法分析

这是一道平面几何与三角函数的综合试题，在高考试题中属于中档题.求解时要求学生有较强的阅读理解能力，基本的计算能力，还要有较强的逻辑思维能力，同时对学生的表达能力也提出了较高的要求.但求解过程容易出现多解，错解或漏解的情况.第（1）问根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cosA+B=sinB，再结合0

3.解法探究

3.1 第（1）题解法

法1：（1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB－sinAsinB=cosA+B=－cosC=12，而0

评注：此解法用到了诱导公式及三角形的内角和公式，思路清晰，解法自然.

4 试题拓展

以上分别列举求解第（1）问和第（2）问的6种常见的方法，由于第（1）小问和第（2）小问相对独立，因此，在理论上完成此题的解法很多.限于篇幅，不再例举，留给读者作为练习.

5 教学建议

解三角形是近年高考试题中经常出现的试题，这部分内容主要涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式及射影定理等.因此教师在进行这类问题的教学或复习时，要加强基础知识方面的练习，基础知识扎实了，解决此类问题的时候，就能尽可能地避免解题过程中出现多解、错解或漏解的情况.

（本文系广东教育学会教师继续教育学会2020年度规划课题《基于提升高中青年数学教师听评课能力的实践研究》（课题编号：2020gh070），广东教育研究院规划课题《基于STEM教育理念下图形计算器在高中数学教学中的实践与研究》（课题编号：GDJY-2020-Ab-259），中山市市级科研立项一般课题《基于GeoGeBra在高中数学“可视化课堂导入”的实践与探究》（课题编号：B2020196）三个基金项目的阶段性成果.）