倡导“一题多解”，开拓发散思维

张正君

摘要：“一题多解”可以很好地考查学生的逻辑思维能力与数学发散思维等，教师应注重将“一题多解”的意识渗透到数学解题教学中．本文结合一道解三角形的证明题，从三角函数、解三角形、推理证明以及平面几何等不同的视角切入并展示不同方法，让学生在解题探究中感悟数学思想方法之美，培养学生思维的发散性，开拓学生视野，提升学生的核心素养．

关键词：解三角形；三角函数；推理证明；平面几何

“一题多解”的倡导与实施，在一定程度上可以开阔学生解题思路，发散学生数学思维，多角度、多层面去分析、处理与解决问题．借助“一题多解”，在发散学生数学思维的同时，优选最佳的方法，并在此过程中不断探究，灵活变通，实现在探究中升华能力，研究之路定会越铺越远．

1问题呈现

问题在△ABC中，内角A，B，C满足2sin2A+sin2B=2sin2C．

（1） 求证：tanC=3tanA；

（2） 求1/tanA+2/tanB+3/tanC的最小值．

此题以三角形中的对应内角的正弦值的平方关系式来创设问题情境，进而证明两内角的正切值之间的数量关系，以及求解三内角的正切值的倒数的关系式的最值问题．这里第一问中三角关系式的证明是问题的难点与关键所在，结合题设条件，可以从三角函数、解三角形、推理证明以及平面几何等思维视角切入，利用不同视角的思维展开与应用来达到目的．本文仅对第（1）问加以剖析.

2问题破解

思维视角1：三角函数思维

方法1：（三角恒等变换法1）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，可得2sin2A+sin2（A+C）=2sin2C，

则有2sin2A+（sinAcosC+cosAsinC）2=2sin2C，

展开有2sin2A+sin2Acos2C+cos2Asin2C+2sinAcosAsinCcosC=2sin2C，

可得2sin2A（sin2C+cos2C）+sin2Acos2C+cos2Asin2C+2sinAcosAsinCcosC=2sin2C（sin2A+cos2A），整理有3sin2Acos2C+2sinAcosAsinCcosC－cos2Asin2C=0，

以上式子两边同时除以cos2Acos2C，可得3tan2A+2tanAtanC－tan2C=0，

则有（3tanA－tanC）（tanA+tanC）=0，解得tanC=3tanA或tanA=－tanC（舍去），

所以结论tanC=3tanA成立．

解后反思：借助三角恒等变换法来处理解三角形问题，关键是抓住题设与结论中两个不同的三角关系式的结构特征，利用证明目标没有涉及角B，借助三角形的内角和定理与诱导公式加以变形，进而结合三角函数关系式的恒等变形进行转化，构建对应的方程加以分析与求解．三角恒等变换法中对三角关系式的变形与转化具有较高的灵活性与技巧性．

方法2：（三角恒等变换法2）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合二倍角公式，

可得sin2B=2sin2C－2sin2A=1－cos2C－（1－cos2A）=cos2A－cos2C，

而sin2B=sin2（A+C）=cos2A－cos2C=cos［（A+C）+（A－C）］ －cos［（A+C）－（A－C）］=－2sin（A+C）sin（A－C），

则有sin（A+C）=－2sin（A－C），展开有sinAcosC+cosAsinC =－2sinAcosC+2cosAsinC，

整理可得3sinAcosC=cosAsinC，则有tanC=3tanA．

解后反思：借助三角恒等变换法来处理解三角形问题，利用二倍角公式进行降次处理，结合三角形的内角和定理与诱导公式加以变形，综合角的拆分处理与整体化思维，巧妙变形与应用，利用三角恒等变换公式以及同角三角函数基本关系式来综合处理．从另一個视角，将三角恒等变换公式巧妙应用．

思维视角2：解三角形思维

方法3：（正弦定理与余弦定理综合法1）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

而由余弦定理，可得cosC=a2+b2-c22ab=b4a=sinB4sinA，即4sinAcosC=sinB，

由诱导公式得4sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得3sinAcosC=cosAsinC，故有tanC=3tanA．

方法4：（正弦定理与余弦定理综合法2）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

而由余弦定理，可得cosA=b2+c2-a22bc=3b4c=3sinB4sinC，即4sinCcosA=3sinB，

则有4sinCcosA=3sinB=3sin（A+C）=3sinAcosC+3cosAsinC，可得3sinAcosC=cosAsinC，故有tanC=3tanA．

解后反思：借助解三角形中的正弦定理、余弦定理实现“角”与“边”之间的互化与恒等变形，综合三角形的内角和定理，三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式以及三角恒等变换公式等，考虑题设条件与所证结论之间的联系．解三角形中的正弦定理、余弦定理综合法是处理解三角形问题中离不开的基本知识与技巧．

思维视角3：推理证明思维

方法5：（分析法）

要证tanC=3tanA，即证sinCcosC=3sinAcosA，

结合正弦定理与余弦定理，即证ca2+b2-c22ab=3ab2+c2-a22bc，等價整理有

3（a2+b2－c2）=b2+c2－a2Symbol[C@2a2+b2=2c2，

结合正弦定理，即证2sin2A+sin2B=2sin2C，即题设条件，

所以结论tanC=3tanA成立．

解后反思：借助逻辑推理中的分析法处理，执果索因，逆向思维，吻合问题的分析历程，遇“正切”利用“化正余弦”法转化，遇“角”转“边”，遇“边”借正弦定理恒等变形，再利用遇“边”转“角”等思维的转化，与题设加以联系，实现分析法证明问题的目的．分析法更加契合逻辑推理过程中思维的历程，是证明问题中比较常用的一种技巧方法．

思维视角4：平面几何思维

方法6：（几何法）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

如图所示，过点B作ED⊥AC交AC于点D，

设BD=x，AD=m，CD=n，则b=m+n，

利用勾股定理，可得

c2=m2+x2，a2=n2+x2，

代入2a2+b2=2c2，可得2（n2+x2）+（m+n）2=2（m2+x2），整理可得3n2+2mn－m2=0，

则有（3n－m）（n+m）=0，解得m=3n（负值关系舍去），

而tanA=xm=x3n，tanC=xn，则有tanC=3tanA．

解后反思：借助平面几何图形的直观构建来分析与解决解三角形中的证明问题，可以有效回避三角函数中众多三角恒等变换公式的应用，以及与之相关的逻辑推理与数学运算，抓住平面几何图形的结构特征，合理引入边或角等相关参数，解决起来更加直观形象，处理问题也更加简单快捷．

3教学启示

3.1教师细心备课，拓展教学价值

一些看似平淡无奇的习题，也许有着意想不到的价值．这就需要教师全面认真地备课，挖掘一些经典习题的本质、内涵与新意，合理引导学生构建数学知识体系，挖掘不同数学模块、数学基础知识之间的联系，促进数学思想方法之间的渗透与沟通，实现数学知识的巧妙转化与合理应用，拓展数学教学价值．

3.2注重“一题多解”，全面发展能力

对于一些模拟卷中的经典试题，借助“一题多解”的研究与应用，可以很好地挖掘各部分数学基础知识的应用，全面构建与发展学生的数学知识基础与解题能力，以及相应的创新意识与创新思维，注重培养学生“严谨求实”“善于思考”“敢于质疑”“激励创新”等方面的能力．