挖掘创新定义，展示向量魅力

蔡文捷

摘要：以平面向量为基础的创新应用问题，有其特定的几何意义和计数形式，对学生数学知识、基本思想方法与基本数学能力的要求很高.本文探究一道以平面向量为背景的新定义题，展示平面向量独特的内涵与性质.

关键词：平面向量；几何意义；数量积

平面向量同时具有“数”的性质与“形”的特征，一直是高考中创设情境问题与创新定义的一个重要知识来源.借助平面向量的知识背景，或通过“数”的视角加以抽象或运算，或通过“形”的直观加以设置或切入，其形式新颖，变化多端．本文以一道高考新定義题为例对此作些探索.

1问题呈现

设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），记a*b=x1x2－y1y2，若圆C：x2+y2－2x+4y=0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则|OA1*OA2+OA2*OA3|的最大值是．

此题以向量的创新运算定义为问题背景，结合向量的坐标运算与几何意义、圆的方程与几何性质、直线与圆的位置关系等相关知识考查学生的创新意识与创新应用．向量的创新运算定义与平面向量的数量积的坐标运算有一定有联系与区别，学生在解决此类问题时需要合理形成类比法与知识迁移．

2问题解决

0方法1：（向量几何意义+线性规划法）

0解析：由圆C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，则圆心C（1，－2），半径r=5，

设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3为圆C的直径，

则有x1+x32=1，y1+y32=－2，

即x1+x3=2，y1+y3=－4，

可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|x1x2－y1y2+x2x3－y2y3|=|x2（x1+x3）－y2（y1+y3）|=|2x2+4y2|，

而A2为圆C上的任意一点，则当直线2x+4y+b=0与圆（x－1）2+（y+2）2=5相切时|2x2+4y2|有最大值，

由于圆心C到直线2x+4y+b=0的距离d=|2×1-4×2+b|4+16=5，解得b=16或b=－4，由于|－4|≤16，所以当b=16时，原式有最大值16．

0解后反思：利用圆上的三点所满足的条件，结合圆的性质确定直径A1A3过圆心C，进而构建对应的关系式，接着利用向量的创新运算定义和线性规划将其转化为直线与圆的位置关系问题，然后结合直线与圆相切时有最值，利用点到直线的距离公式来确定参数值，从而得以解决对应的最值问题．思路自然，方法流畅．

0方法2：（向量几何意义+参数方程法）

0解析：由圆C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，则圆心C（1，－2），半径r=5，

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3为圆C的直径，

设A1（1+5cosα，－2+5sinα），A2（1+5cosβ，－2+5sinβ），

则有A3（1+5cos（π+α），－2+5sin（π+α）），即A3（1－5cosα，－2－5sinα），

结合创新定义，可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|（1+5cosα）（1+5cosβ）－（－2+5sinα）（－2+5sinβ）+（1+5cosβ）（1－5cosα）－（－2+5sinβ）（－2－5sinα）|

=|2（1+5cosβ）+4（－2+5sinβ）|=|45sinβ+25cosβ－6|=|10sin（β+φ）－6|≤16，

所以原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：借助圆的参数方程，引入两个点的坐标所对应的参数，利用A1A3为圆C的直径来确定第三个点的坐标，进而通过向量的创新运算定义来列式，并利用三角函数的化简，结合三角函数的辅助角公式，从而得以确定对应关系式的最值问题．利用三角函数来确定最值问题有一定的优势，关键就是合理引入对应的角参，并利用三角函数的知识加以消参与变形，然后结合三角函数的图象与性质来确定对应的最值问题．

0方法3：（特殊位置法）

0解析：由圆C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，则圆心C（1，－2），半径r=5，

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3为圆C的直径，取A1（0，0），则知A3（2，－4），

设A2（1+5cosθ，－2+5sinθ），

结合创新定义，可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|2（1+5cosθ）－（－4）（－2+5sinθ）|=|45sinθ+25cosθ－6|=|10sin（θ+φ）－6|≤16，

所以原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：利用A1A3为圆C的直径的性质，选取特殊位置来确定其中的两个点，并引入圆的参数方程来确定另外一点的参数坐标，通过向量的创新运算定义来列式，合理简化三角函数关系式的运算与化简过程，以特殊位置中的“静”来特殊化解决“动”的问题，实现特殊与一般思维的转化，使得处理问题更加简捷．

0方法4：（向量数量积法）

0解析：由圆C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，则圆心C（1，－2），

其关于x轴对称的圆C1的方程为（x+1）2+（y+2）2=5，则C1（1，2），

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3为圆C的直径，则有OA1+OA3=2OC，

可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|OA2*（OA1+OA3）|

=|OA2*2OC|=2|OA2*OC|=2|OA2·OC1|，

如图1所示，显然当OA2位于OC1的反向延长线的投影最长时（设为点Q），此时PC∥OC1，对应直线OC1的方程为y=2x，可知直线PC的方程为y+2=2（x－1），即y=2x－4，此时直线PC与圆C的交点P时，|OA2·OC1|取得最大值，

将y=2x－4代入圆C：x2+y2－2x+4y=0，可得x2－2x=0，

解得x=0或x=2，则知P（0，－4），

那么OP·OC1=（0，－4）·（1，2）=－8，

所以2|OA2·OC1|的最大值为2×8=16，即原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：将向量的创新运算定义转化为熟知的平面向量的数量积问题，然后抓住对称以及平面几何图形的特征，结合平面解析几何中直线、圆的方程的确定与关系的求解，利用投影的定义加以数形结合，进而直观分析解决创新应用问题．此类化归与转化问题，是将创新定义转化为已有知识，思路新颖，直观形象．

3变式拓展

涉及两点对应坐标的乘积的差的关系是一个创新特殊与新颖的表达式，与平面向量的数量积的坐标公式有一定有联系与区别，也为问题的创新设置与巧妙破解提供一定的指导与创新．

0【变式】已知双曲线x2a2－y2=1（a>0），双曲线上右支上有任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），满足x1x2－y1y2>0恒成立，则a的取值范围是．（解略）

4教学启示

4.1回归本质，重视基础

以平面向量为问题情境的创新应用中，通过巧妙设置，回归平面向量的问题本质，利用熟悉化归转化为平面向量的基本概念、基本运算、几何意义或数量积等相关的知識.总结来说，就是通过“形”的特征加以数形结合，直观处理；通过“数”的性质加以数学运算，代数变形．但无论怎样，都离不开平面向量的基础知识与基本技能，从基础中来，到基础中去．

4.2合理联系，类比应用

对于高考中创新变点之一的情境信息创新题，是依托已有的概念、运算法则和运算律等的基础上定义的一种新的概念、运算、规则、性质等的问题，关键是抓住题目条件中对应的定义新概念、设置新运算、迁移新信息、创设新题型等信息，通过类比并结合原有数学基础上中的定义、性质、公式、方法等视角加以创新、应用、探究，从而实现知识与能力的综合、提升与拓展等，真正达到创新应用与深入探究的目的．