巧思维切入，妙方法破解

解金雷

摘要：解三角形问题可以巧妙融合初高中的不同知识与思想方法，形成良好的知识交汇与综合应用.因此历年来在数学高考中占有重要地位．本文结合一道模拟解三角形题的呈现与解析，深度剖析其思维方法，以期引领并指导解题研究．

关键词：解三角形；最值；平面向量

1问题呈现

在锐角三角形ABC中，D是线段BC上的一点，且满足AB+AC=2AD，AD=AB，则tanA+tanB+tanC的最小值是．

此题以三角形为问题背景，通过平面向量的创设，以及三角形中线段之间的关系等条件设置，结合三角函数知识来确定对应三角形的三内角的正切值之和的最值问题，形成集解三角形、平面向量以及三角函数等相关知识的交汇与综合．

2问题破解

0方法1：（消参法）

0解析：由AB+AC=2AD，可知点D是线段BC的中点，

设AD=AB=c，BG=a，AC=b，利用三角形的中线长公式，可得（2AD）2+BC2=2（AB2+AC2），

则有（2c）2+a2=2（c2+b2），即a2=2（b2－c2），

利用正弦定理，可得sin2A=2（sin2B－sin2C），

结合正弦平方差公式，可得sin2（B+C）=2sin（B+C）sin（B－C），

则有sin（B+C）=2sin（B－C），展开并整理有sinBcosC=3sinBcosC，即tanB=3tanC，

而tanA=－tan（B+C）

=－tanB+tanC1-tanBtanC=4tanC3tan2C-1，

所以tanA+tanB+tanC=4tanC3tan2C-1+4tanC

=12tan3C3tan2C-1，

构建函数f（t）=12t33t2-1，tanC=t>0，求导可得f′（t）=36t4-36t2（3t2-1）2，令f′（t）=0，解得t=1，

则知当01时，f′（t）>0，函数f（t）在（1，+∞）上单调递增，

所以f（t）min=f（1）=6，即tanA+tanB+tanC的最小值是6，此时当tanC=1，tanB=3，tanA=2时等号成立，故填答案：6．

0解后反思：根据题目条件，通过三角形的中线长公式构建三角形的三边之间的关系，然后结合正弦定理化边为角，通过正弦平方差公式以及三角恒等变换公式确定对应的三角形的两内角的正切值之间的关系，再利用三角形的内角和公式、诱导公式以及两角和的正切公式加以消参处理，从而构建所求三角函数关系式的一元函数．合理的消参为进一步构建一元函数指明方向，也为最值的求解提供条件．

0方法2：（引参法）

0解析：如图所示，由AB+AC=2AD，可知点D是线段BC的中点，不妨设BD=CD=2，取BD的中点H，结合AD=AB可知AH⊥BC，设AH=h（h>0），

由AD=AB可知BH=HD=1，tanB=h，tanC=h3，

而tanA=－tan（B+C）=－tanB+tanC1-tanBtanC=4hh2-3，

所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=4hh2-3×h×h3=4h33（h2-3），

构建函数f（h）=4h33（h2-3），求导可得f′（h）=4h4-36h23（h2-3）2，令f′（h）=0，解得h=3，

则知当03时，f′（h）>0，函数f（h）在（3，+∞）上单调递增，

所以f（h）min=f（3）=6，即tanA+tanB+tanC的最小值是6，此时当tanC=1，tanB=3，tanA=2时等号成立，故填答案：6．

0解后反思：根据题目条件引入三角形的高这一参数，通过特殊化对应的边长，合理构建对应的三角形的三内角的正切值的含参表达式，进而利用三角形中的正切恒等式：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，进行巧妙的化归与转化，合理构建函数，通过求导处理来达到确定目标函数式的最值问题．合理的引参的目的就是构建一元函数，进而借助函数与导数的应用来解决相应的最值问题．

0方法3：（坐标法）

0解析：由AB+AC=2

AD，可知点D是线段BC的中点，

图2

不妨设BD=CD=2，如图所示，以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xDy，则B（－2，0），C（2，0），设A（－1，y），y>0，

则知tanB=kAB=y-0-1+2=y，tanC=－kAC=－y-0-1-2=y3，

而tanA=－tan（B+C）=－tanB+tanC1-tanBtanC=4yy2-3，

所以tanA+tanB+tanC=4yy2-3+y+y3=4y33（y2-3），

構建函数f（y）=4y33（y2-3），求导可得f′（y）=4y4-36y23（y2-3）2，令f′（y）=0，解得y=3，

则知当03时，f′（y）>0，函数f（y）在（3，+∞）上单调递增，

所以f（y）min=f（3）=6，即tanA+tanB+tanC的最小值是6，此时当tanC=1，tanB=3，tanA=2时等号成立，故填答案：6．

0解后反思：根据题目条件合理构建平面直线坐标系，通过点的坐标的确定与直线的斜率公式来确定对应的三角形内角的正切值，综合利用三角恒等变形公式来构建所求三角函数关系式的一元函数问题．坐标法解决解三角形问题，将三角形放置与平面直角坐标系中，通过坐标法的代数运算来化归与应用．

3变式拓展

保留题目背景与求解结果，改变其中线段长度的给出条件为平面向量的数量积之间的关系，同样求解对应三角形的三内角的正切值之和tanA+tanB+tanC的最小值问题，得到以下对应的变式问题．

【变式】在锐角三角形ABC中，D是线段BC上的一点，且满足AB+AC=2AD，2BC·DA=3CB·CA，则tanA+tanB+tanC的最小值是．

4教学启示

4．1思维方法总结，形成知识体系

对于求解对应三角形的三内角的正切值之和的最小值，式子中含有三个角参，可以从以下几个方面进行考虑：

（1） 合理消元，通过三角形的内角和定理消去一个角参，再根据题目条件得到剩下两个角参的关系，然后进一步消去另一个角参，进而得到对应的一元函数，最后，利用函数与导数的关系来进行最值的确定与求解．

（2） 引入参数，通过作高线，设出三角形对应的高，结合题目条件将对应的三角形的三内角的正切值均转化为涉及此参数的函数关系式，进而通过一元函数的构建，结合函数与导数的关系来进行最值问题的转化与应用．

（3） 构建坐标，结合平面直角坐标系的构建，将解三角形问题放置于平面解析几何中，通过确定点的坐标以及直线的斜率，将相应的三角形的三内角的正切值转化为涉及点的坐标的一元函数问题，进一步利用函数的构建与导数的应用来解决相应的最值问题．

4．2技巧策略归纳，巩固数学能力

涉及三角函数在平面几何图形中求边角的取值或对应关系式的最值问题，往往需要以角为变量，构造函数来研究，需要學生具备较强的三角恒等变形的能力．当然在具体操作过程中，有时还会需要在平面几何图形中做垂直关系进行合理的优化运算，以长度为变量构造函数，也有时还会以某一个三角函数值为变量的，此时便要特别注意有时还有三角函数的有界性的限制．