矩阵高次幂的计算方法研究

李小敏 任水利 章培军 惠小健

摘要：矩阵是高等代数研究的基础单元，在数学理论以及工业领域中都有着非常重要的作用.矩阵高次幂的计算是矩阵理论一个非常重要的研究内容，本文对不同类型的矩阵，采用特定的方法来求其n次幂，这些计算方法可以达到简化矩阵高次计算过程和降低计算复杂度的效果.

关键词：矩阵；幂；二项式；特征值；若当标准型

矩阵是从实际问题中抽象出来的一个概念，它是线性代数与高等代数中一个非常重要的部分.在机械工程、自动化、经济管理等领域有着广泛的应用.随着科技的发展，对矩阵计算的复杂度要求越來越高.而在矩阵的各种研究中，矩阵乘法计算的复杂程度较大，矩阵高次幂的计算有很多种方法［1］-［5］，本文根据矩阵所具有的不同特性，在计算过程中采用不同的计算方法，使得计算过程比较简单，计算复杂度较低，也有助于快速得到计算结果，下面，分别来讨论矩阵高次幂的各种计算方法.

1利用数学归纳法计算

矩阵高次幂计算的数学归纳方法，就是通过对所给矩阵二次、三次、四次幂等的计算来发现规律，归纳出其n次幂的结果，再用数学归纳方法加以证明.

2利用二项式展开计算

3利用乘法结合律计算

若某个矩阵A能分解成行向量和列向量的乘积，即A=αβT，其中α为n×1列向量，βT为1×n行向量，那么βTα就是一个实数，因此，矩阵A的高次幂计算可以利用矩阵乘法结合律来简化，即An=αβT·αβT·αβT…αβT=α·βTα·βTα…βTα·βT=（βTα）n－1αβT=（βTα）n－1A.

4利用相似对角化法计算

当矩阵A可对角化时，即存在可逆矩阵P，使得A=PΛP－1，其中Λ为对角矩阵.于是

5利用低次幂的殊类型计算

有些矩阵的低次幂和一些特殊类型的矩阵有关，即如果存在A2=ΔE，其中Δ为一常数，那么A的高次幂计算就变得非常容易.

6利用矩阵分块法计算

7利用HamiltonCayley定理计算

8利用若当标准型计算

事实上，每一个矩阵n次幂的计算都可以化为其若当标准型n次幂的计算，但是，在求矩阵A的若当标准型时，要求矩阵A的特征值和特征向量，这是一个非常麻烦的过程.因此，在计算矩阵高次幂时，可以先对矩阵进行观察，在以上的简便方法都不能使用的情况下，再用若当标准型来计算［6，7］.

可以取X1=α1，但是不能简单地取X2=α2.这是因为如果X2选取不当会使得第三个线性方程组无解.由于α1，α2的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取X2=k1α1+k2α2，使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵I－A，－X2的秩也为1.

容易看出只要k1=k2就会使得上述增广矩阵的秩为1.令k1=k2=1于是X2=α1+α2=2，1，1T.

再由第三个方程解出一个特解为X3=2，0，1T，那么所求的相似变换为

参考文献：

［1］ 陈建华，卫闻逸，苏韵.矩阵分解思想解题意义探究［J］.理科爱好者（教育教学），2021（6）：1-2.

［2］ 张海涛.n阶方阵高次幂的求解方法［J］.山西大同大学学报（自然科学版），2020，36（1）：24-26.

［3］ 刘素兵，曲娜，曹大志.关于方阵的特征值与特征向量教学的探讨［J］.高师理科学刊，2017，37（10）：62-65.

［4］ 闫树熙.方阵高次幂的求解研究［J］.榆林学院学报，2012，22（4）：40-43.

［5］ 刘爱兰.矩阵高次幂的计算方法［J］.上海电力学院学报，2007（1）：93-96.

［6］ 王萼芳，石生名.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［7］ 蔺小林.高等代数学习指导［M］.西安：陕西人民出版社，2002.

［8］ 苏静霞，马绍文.基于“综合与实践”活动培养学生发现和提出问题的能力［J］.数学之友，2022，36（1）：16-18.

［9］ 冯源，张晓贵.基于认知负荷理论的中学几何证明习题教学策略研究［J］.数学之友，2022，36（1）：2-4.

［10］ 鲁和平.构造余弦定理模型解题［J］.数学之友，2022，36（1）：68-70.

［11］ 郭影影.借高考题谈单项选择题解题策略［J］.数学之友，2022，36（1）：83-85.

［12］ 刘艳鲜.利用Geogebra开展线性规划问题探究例析［J］.数学之友，2022，36（1）：77-79.

［13］ 王思俭.基于单元教学情景的新概念课堂教学设计与研究——以《导数在研究函数中的应用》为例［J］.数学之友，2022，36（2）：14-18.

［14］ 李青.数学教学视域下的“李约瑟难题”探析［J］.数学之友，2022，36（2）：4-7.

基金项目：1. 西京学院教学改革研究项目“面向解决复杂工程问题的应用型人才数学应用能力培养研究与实践”（项目编号：JGGH2104）；2. 2021年陕西省教育部产学合作协同育人项目“《高等数学》课程教学改革与金课建设”（项目编号：292102545017）；3. 陕西省高等教育学会2021年度高等教育科学研究项目“互联网+背景下大学生数学应用能力的研究与实践”（项目编号：XGH21282）；4. 陕西省教育科学“十四五”规划2021年度一般课题“面向解决复杂工程问题的应用型人才数学应用能力培养实践研究”（项目编号：SGH21Y0286）.