谈数列问题中求最值项的常用策略

武笎

摘要：数列中的求最值项的问题，需要有扎实数列的知识和函数中求最值的方法，还要具备熟练的分析问题方法和变换处理能力.本文对之分类进行了解析.

关键词：数列；最值项；求解方法

数列问题是高考数学中的必考问题，可涉及到选择题和填空题，以及解答题.尤其是近年来的解答题中，每一张试卷都有数列题，虽然考题难度有所降低，但由于此知识点的特殊性与复杂性，根据每年的考生情况的统计，总体得分率还是不够理想，没有显示出必须完全掌握的特点，其中比较特别的是，与其它知识综合运用的地方还不能彻底解决，本文中介绍的求数列问题中的最值项的问题就是如此.所谓的数列中的求最值项的问题，就是寻找满足一些式子取到最大值或最小值时，要求的自然数n的取值，此类问题的解决不但需要有扎实数列的知识、函数的方法和不等式的性质等知识基础，还应该具备对数列问题有熟练的分析变换和变形处理能力.下面通过对几个典型例题的分析求解，着重介绍数列求最值项的常用方法，希望对读者朋友有所帮助.

1作差相减

例1已知数列an的通项公式an=-2n3+24n2+18n+2，（n∈N*），求数列中取最大值时的项.

解析：因为an+1－an=－2（n+1）3+24（n+1）2+18（n+1）+2－（－2n3+24n2+18n+2）=2n（21－3n）+40，则当1≤n≤7时，an+1－an>0，即an+1>an；当n≥8时，an+1－an<0，即an+1

点评：通过探寻相邻两项的差，根據差式何时差开始取正数（或负数）来判断出哪一项是最大（或小）项，这是根据数列特点的求最值项的通用方法，对此，我们应该熟练掌握，并且运用自如.

例2数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0（n∈N*）.（1） 求数列an的通项公式；（2） 设bn=1n（12－an）（n∈N*），Tn=b1+b2+…+bn，若存在整数m使对一切自然数n都有Tn>m32成立，求m的最大值.

解析：由an+2－2an+1+an=0可得an+2－an+1=an+1－an，所以数列an为等差数列，又a1=8，a4=2，不难求得an=10－2n，从而bn=1n（12－an）=12n（n+1）=121n－1n+1，所以Tn=b1+b2+…+bn=n2（n+1），下面再证对于n∈N*，Tn为单调数列，因为Tn+1－Tn=12（n+1）（n+2）>0，故Tn+1>Tn，故Tn为单调增数列，则T1=14为最小值.由Tn>m32恒成立，则需m32

点评：数列中求数列的最大项的问题，大多都是通过判断数列的单调情况来解决，也就是通过求相邻两项的差来判断，这是一个重要的解题技巧，也是数列问题本身特点所具有的，需要由此形成熟练解题经验.

2建立不等式组

例3已知数列an的通项公式an=（n+2）·67n，求此数列中取最大值时的项.

解析：假设第n项为取最大值的项，则an≥an－1

an≥an+1.，即（n+2）·67n≥（n+1）·67n－1

（n+2）·67n≥（n+3）·67n+1

即6（n+2）≥7（n+1）

7（n+2）≥6（n+3），解得n≤5

n≥4，即4≤n≤5，又n∈N*，所以n=4或n=5，故数列an中a4与a5均为最大项，且a4=a5=6574.

点评：此方法是根据数列最大（或小）值的定义列出不等式组，然后再求解这个不等式组，得到了数列最大项，此法也很常用.注意有的时候可能有多个最大（小）项，而这些项的值应该是相等的.

例4某鱼塘几年内一次性放养若干条鱼，第1年每条鱼的平均鱼重的增长率为300%，以后每年的平均鱼重增长率都是上一年的13，而且每年鱼的条数要减少5%，问鱼塘哪一年鱼的总重量最大？

解析：设放养后第n年，每条鱼的平均重量为an，第n年鱼塘存活bn条鱼，则an+1=an（1+31－n），bn+1=bn（1－5%），令an·bnan+1bn+1，求得n≥4，则a1b1a5b5>a6b6……，故第4年总重量最大.

点评：此题是一个实际应用题，通过设计两个数列，分别表示“平均鱼重”“鱼塘存活的条数”就将第n年“鱼塘的总重量”表示出来了，然后利用不等式组的递推，找到了总重量取最大值的项.

3利用数列的增减性

例5在等差数列an中，若前n项和记为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，当n为何值时，Sn最大？

解析：由a3=12，S12>0，S13<0，容易知道此数列为单调减数列，又由于S12=6（a1+a12）=6（a6+a7）>0，得a6+a7>0，而S13=132（a1+a13）=13a7<0，得a7<0，由数列的单调性知a6>0，a7<0，即当n=6时，Sn=S6为最大.

点评：由于数列的相关表达式可以看成是以正整数n为自变量的函数关系，故而一些函数中的性质，如增减性、周期性，在数列中也存在，但应该根据数列中自变量为正整数的特点，进行正确理解和使用.

例6已知首项为32的等比数列an的前n项和为Sn，且－2S2、S3、4S4成等差数列.试求Sn+1Sn的最大值.

解析：设等比数列an的公比为q，因为－2S2、S3、4S4成等差数列，所以S3+2S2=4S4－S3，即S4－S3=S2－S4，可得2a4=－a3，于是q=a4a3=－12.又a1=32，所以等比数列an的通项公式为an=32×－12n－1=（－1）n－1·32n.于可求得Sn=1－－12n（n∈N*），所以Sn+1Sn=1－－12n+11－－12n=2+12n（2n+1），n为奇数，

2+12n（2n－1），n为偶数.通过观察此表达式，可以得到，当n为奇数时，Sn+1Sn随n的增大而减小，所以Sn+1Sn≤S1+1S2=136.当n为偶数时，Sn+1Sn随n的增大而减小，所以Sn+1Sn≤S2+1S2=2512.故对于n∈N*，有Sn+1Sn有最大值136.

点评：有一些数列是具有单调性或部分单调的，在解题中如果能及时根据结构特点，挖掘到单调性的信息，就能顺利找到数列的最大值或最小值项，并能顺利的求出最值，那么挖出其增减的方法有很多，其中本解法中的通过观察得到的只是一个特例，在解决小题时，比较实用，在解答题中，还应该通过其他推理方法得到证明后，才能应用.

4利用二次函数性质

例7一个首项为正数的等差数列an，它的前3项和与前11项和相等，问此数列前几项和最大？

解析：设首项a1>0，依题意有a1+a2+a3=a1+a2+a3+…+a11，则a4+a5+…+a11=0，由等差数列的性质知，a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8，可得a7+a8=0，即a1+6d+a1+7d=0，所以d=－213a1<0，故Sn=na1+12n（n－1）d=－113a1［（n－1）2－49］，则当n=7时，Sn=4913a1最大.

点评：如果一个数列表达式是一个二次函数类型，它应该体现出二次函数的特点，利用二次函数的性质，解决数列问题就是一个重要的选择，必须要抓住此解题机会，让其发挥应有的解题功能.

例8若数列an的前n项和Sn=n2－10n（n∈N*），求数列nan中数值最小的项.

解析：由于Sn=n2－10n，所以当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n－11；当n=1时，a1=S1=-9也适合上式.所以an=2n－11（n∈N*）.记f（n）=nan=n（2n－11）=2n2－11n=2n－1142－1218，此二次函数图象的对称轴为直线n=114，但n∈N*，经验证知，当n=3时，f（n）取最小值，所以数列nan中数值最小的项是第3项.

点评：本解法及时抓住数列中函数的特点，利用二次函数求最值的方法，通过找到所对应的抛物线的顶点，然后再根据n为自然数的特点，确定出待求的最值项，此处是一个解题关键点，必须得到重视.

5利用基本不等式

例9设正项等比数列an的前n项和为Sn，若S7－S5=3（a4+a5），试判断4a3+9a7取最小值的情况.

解析：可设正项等比数列an的公比为q（q>0），由于S7－S5=a7+a6=3（a4+a5），可得，a7+a6a5+a4=q2=3.所以4a3+9a7=4a3+9a3q4=4a3+1a3≥4，当且仅当4a3=1a3，即a3=12时等号成立.于是4a3+9a7的最小值为4.

点评：由于此数列是正项等比数列，这是满足了运用基本不等式解题的一个条件，而接下来的事就是如何挖掘“积为定值与等式成立”的机会，这些都与求常规的函数最值相似，但应注意自变量为正整数的特别条件.

例10设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1=d=1，问n为何值时，Sn+8an有最小值？并求出这个最小值.

解析：由于数列an是等差数列，公差为d，且a1=d=1，则an=a1+（n－1）d=n，所以Sn=n（n+1）2，所以Sn+8an=n（n+1）2+8n=12（n+16n+1）≥12（2n·16n+1）=92，当且仅当n=16n，即n=4时取等号，所以Sn+8an的最小值为92.

点评：本解法抓住Sn+8an化简后表达式的特点，将它看成常规的函数式，然后用基本不等式来解决的.但如若在问题的取等号条件中，对应的n不是自然数，也可以利用此法判断n取值的范围，然后用特殊值验证，从而找出待求的最大值或最小值.

6运用求导解决

例11已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm－1=－2，Sm=0，Sm+1=3（m≥2），问当n为何值时，nSn取得最小值？

解析：由于Sm－1=－2，Sm=0，Sm+1=3（m≥2），可知am=2，am+1=3，设等差数列an的公差为d，则d=1，因为Sm=0，所以a1=－am=－2，则an=n－3，且Sn=n（n－5）2，所以nSn=n2（n－5）2.设f（x）=x2（x－5）2（x>0），则f′（x）=32x2－5x，令f′（x）=0，注意到x>0，得到f（x）的极小值点为x=103，由于n∈N*，且f（3）=－9，f（4）=－8，所以待求最小值项为3且最小值为f（3）=－9.

点评：通过将数列类比成对应的函数，再运用求导等手段求出的函数的取最值点，从而得到数列的最值项，同样须注意比较极值点附近相邻两个项的大小后才能确定最终的答案，这是与普通函数求最值的最大区别之处.

还有些问题，在直接求解遇到困难时，考察有关关系式的特点，通过及时的构造函数，利用导数的性质和解题观念来研究此特殊函数的特点，进而通过讨论求得数列前n项和的最大（最小）值，也是一种很重要的探求数列最值问题的方法，此处不再举例.

上面是通过典型例题的分析，介绍了求数列中最值项问题的常用方法，虽然不是十分全面，但基本題型与解题方法都给予了展示.其解题特点是：把握住数列关系式可以看成一个特殊函数式的关键信息，在求数列关系式的最大值或最小值时，除了运用数列自身特点和性质的方法外，一些函数求最值的方法都可以试着用，在遇到最值点不是自然数时，通过验证取最值点附近的自然数就可以确定最值情况了，这就是处理这个特殊函数重要举措.