解题思想策略在平面向量案例解答运用初析

张志华

【摘 要】本文作者简要论述了数形结合、函数或方程、分类讨论以及转化等思想策略在平面向量案例解答中的运用。

【关键词】平面向量;问题案例;解题思想策略;运用初探

解题思想策略是学习对象系统化、条理化观察、探究、分析问题案例的方法手段。笔者认为，解题思想策略应用广泛、意义深刻，在高中数学每一章节案例解析中都不同程度渗透和运用到解题思想策略。教者应强化解题思想策略内涵、应用等方面的教学。本人先结合平面向量案例解答活动，对解题思想策略运用进行简要论述。

一、抓住平面向量外在形象性，运用数形结合解题思想策略

平面向量兼具了数字精确性的“数”特点和图形直观性的“形”特点，是“数”与“形”融合的统一体。平面向量案例解析中，利用平行四边形、三角形法则、模的几何意义、向量的方向（夹角）几何图形等进行探析，其中渗透了数形结合解题思想策略。

问题1：已知△ABC中，AB=a，AC=b。对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP=OA+λa+λb，λ∈[0，+∞）。在动点P的运行轨迹中是否存在某一个定点？说出你的理由。

分析：该问题是要求出动点P的轨迹是否过某一个定点的内容，解析问题条件发现，仅从问题表面进行猜想和思考分析较难开展，需要利用平面向量的相关知识，结合问题的“OP=OA+λa+λb，λ∈[0，+∞）”条件，构造图形，作出如图所示的图形，通过数形结合的思想进行问题案例解析活动，从而确定出动点P的轨迹特征。

二、抓住平面向量内涵丰富性，运用函数或方程解题思想策略

在解析平面向量案例过程中，应该利用平面向量与相关函数知识点之间关系，将解析平面向量问题转化为函数方面案例，或采用构建方程（组）形式进行分析。

问题2：已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，o），（0，a），其中a为正数，点P是线段AB上的一点，如果 =t （0≤t≤1），试求出 · 的最大值是多少？

解析：根据题意可知，该问题是有关数量积与函数方面综合应用的问题。需要运用向量的数量积坐标公式解答，可以利用向量与函数之间的内在联系，转化为求解函数最值的问题。已知 =t ，由此得到 = + = +t = +t（ - ）=（a，O）+t[（0，a）-（a，0）]=（a-at，at），得到 · 的值为a2（1-t）.由于此公式是一次函数关于t方面的解析式，切t∈[0，1]上减函数，因此得到 · 的最大值是a2。

评注：利用向量的运算将向量，借助于函数的知识进行解题分析探究活动。

问题3：现在分别以原点和点A（5，2）作为顶点，作等腰△OAB，已知∠B=90°，那么点B和 的坐标为多少？

分析： 本题是向量的数量积综合运用方面的问题案例，主要是关于向量的性质和坐标表示三角形中的应用。通过分析问题条件可以知道，本题解答的关键是要准确求出B的坐标。根据题意，设B（x，y），由 | 并且 = ，可以列出关于xy之间的方程组，通过解方程组从而得到x，y的值，从而求出 的坐标值。

评注：在解三角形方面的问题时，要认真分析问题条件内容，掌握条件中已知的三角形边和角的特征，如遇到直角与垂直方面的联系，等腰和等距方面联系，就要通过方程思想策略，构建方程组进行解答。

三、抓住平面向量解题严密性，运用分类讨论解题思想策略

由于平面向量的特殊性，需要对平面向量问题进行逐一分类，认真甄别，讨论研究，加以解决， 如因向量的方向不确定、向量的位置关系不确定、向量问题的叙述不明确、参数的最优值不明确等情况时，运用分类讨论解题思想策略。

问题4：如图所示，已知在一个平面上有三个坐标分别是A（-2，1）、点B（-1，3）、点C（3，4）。如果使ABCD四个点成为一个平行四边形的四个顶点，试确定D的坐标值。

分析：本题要求出点D的坐标，并且由ABCD四个点成为平行四边形ABCD的四个顶点。但通过对问题条件的研析发现，该问题未能明确顶点的顺序，此时就需要进行分类讨论的方法， 分别从以AC为对角线作平行四边形ABCD1、以BC为对角线作平行四边形ACD2B、以AB为对角线作平行四边形D3ACB等三种情况进行讨论，如图所示。

评注：本问题是关于平面向量共线的充要条件与向量坐标运算之间的案例，主要培养学生向量的坐标理解和运用能力。当四边形ABCD为平行四边形时，较为容易想到，但问题条件中未能指出其D点的位置，以及平行四边形的顺序，需要通过分类讨论解题思想进行讨论。

四、抓住平面向量外延广阔性，运用转化解题思想策略

平面向量与其他知识点之间有着密切深刻的联系，在分析解答问题案例时，可以将平面向量问题案例通过问题情境、特殊与一般、等价转化等形式，转变为解析其他知识点的问题。如在平面向量的夹角、向量的平行、向量的垂直关系等案例解析中，都要运用到转化解题思想策略。

问题5：在水平的路面上，王洪和李明同时拉车，王洪用45N的力F1向东拉车。小明用60N的力向北拉这辆车，试求他们两个人的合力F是怎样？

分析：通过对本题条件以及解题要求等内容的分析，可以发现，该问题主要是考查向量的加法运算。本题看似是一道物理方面的案例，实际是关于向量合成的问题。需要通过转化手段，把物理方面问题变为数学方面问题，根据向量平行四边形法则以及解三角形等方面的知识进行问题的求解。

评注：解答该案例时，应该利用平面向量的平行四边形法知识，将其转化成解三角形方面的案例。

值得注意的是，解题思想策略实际运用过程中，不是孤立、单独的存在，而是相互融合，渗透于同一问题案例解析之中，需要高中学生在实际解析实践中认真研究、深刻探析。

（作者单位：江苏省海门中学证大校区）