理解数学本质凸显以生为本

陈家才 段志贵

摘 要：在某高中视导过程中通过课堂观察发现，教师的传统教学理念根深蒂固，课堂教学中教师急着替学生画图、思考、解题，仍然是教师一讲到底，缺乏以生为本的理念，课堂教学中教师仍然是就题论题，没有结合数学固有特性对课堂内容进行深度加工.结合目前课堂教学中现象，教师如何把握数学本质设计以生为本的课堂是值得研究的问题.

关键词：传统教学理念；数学本质；以学为主

1 视导中发现的问题

在某高中视导过程中通过课堂观察发现，教师的传统教学理念根深蒂固，课堂教学中教师急着替学生画图、思考、解题，仍然是教师一讲到底，缺乏以生为本的理念，课堂教学中教师仍然是就题论题，没有结合数学固有特性对课堂内容进行深度加工.已有研究认为数学本质是蕴含在“数学知识形成”和“数学问题解决”过程中的数学思想和数学精神［1］.结合目前课堂教学中现象，教师如何把握数学本质设计以生为本的课堂呢？本文以苏教版“5.1函数的概念”的教学设计为例探寻以生为本的教学策略.

2 指向以生为本的函数概念教学流程设计

以生为本的教学设计离不开教师对数学知识本质的理解，这是组织和实施课堂教学的出发点，也是归宿点.为此，教师要知道知识的来龙去脉，要厘清知识的内在关联，要深度分析概念的基本内涵，要理解问题解决过程中的数学思想.我们研究指向以生为本的教学设计必须明确“为什么学”“学习什么”“怎么学习”“理解学习内容”“感悟获得什么”等基本问题，充分把握课堂教学设计的主线，具体流程如下（图1）.

2.1 明确知识由来，揭示为什么学

从1673年莱布尼茨的手稿创造了“函数”一词，到1939年布尔巴基学派给出函数的定义，纵看函数定义的演变过程，“单值对应”是函数概念的最本质特征.创设这样一个真实情景：

问题1：三峡大坝最大蓄水393亿立方米.校核洪水位以下的水库容积称为总库容，即水位达到185.40米时的蓄水量.水库工作人员是借助水库里的标示水位的杆子知道水位，为什么知道水位就能确定蓄水量？这里的蓄水量与水位有怎样的关系呢？

依据学生的认知过程创设三峡大坝蓄水量与水位关系的教学情景，不仅落实了立德树人的根本任务，提升学科素养，凸显以生为本，让教师扮演助学、导学角色，还能使学生化身已有认知基础上，把握知识的本质.一言以敬之，这种问题的切入方式能启发学生思考，让学生感觉过渡自然，有利于学生感悟知识与实际生活之间关联.

2.2 呈现知识去脉，计划学习什么

前面已经学习了函数的概念，为什么现在还要学习函数，这是本节课教学重点，在上面问题1之后，学生从初中函数出发，回忆“变量说”，复习函数的三种表示方法，为后面提出3个实例起到前后呼应作用，奠定了学习新知的基础.

问题2：在初中学习了“函数”，请举出你熟悉的函数例子.

追问1：这位同学所举的函数例子是怎样表示的？

追问2：请你给出初中函数的概念.

追问3：请你分析以下3个问题.

这个追问3是关键，直击高中为什么还要再学习函数的问题，初中函数是刻画两个变量的变化过程，没有提到符号f（x）、定义域、值域，没有提及对应关系.可以预设学生对追问3的3个问题的回答存在争议，有的同学说y不是x的函数，有的同学说y是x的函数，学生又无法说明是与不是的理由，引出再次学习函数的概念的必要性.

2.3 借助知识关联，设计怎么学习

本节的难点是如何借助3个实例，让学生经历观察、比较、分析，探究3个实例共性，高度概括出一般规律，把握“对应关系”的本质，让学生形成一般性思考问题的习惯，使学生的素养达到数学抽象水平.初中学习过的函数概念是“变量说”，没有明确定义域、值域、对应关系，高中函数的表达呈现是“集合说”，为了重点突出自变量的范围对函数影响，更加符合学生的认知，对教材中问题的顺序进行了调整，将第2个问题变成第1个情景，第1个问题变成第2个情景，通过5个递进式问题，让问题的解决过程能够可视化.

情景1：一物体从静止开始下落，下落的距离y（单位：m）与下落时间x（单位：s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？

追问1：若物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？若物体下落4s，2s？

追问2：下落的距离y是下落时间x的函数？为什么？

追问3：物体静止时离地面距离为19.6m，经过3s，你能求出它下落的距离吗？

追问4：在追问3的情景下，y与x的对应关系如何表达才能更准确呢？

追问5：请你完成表1.

追问1—2引导学生通过解决问题温习了初中的函数定义，追问3—5指向函数自变量的取值范围，让学生在追问3情景中思考、表达、反思对应关系，函数自变量的取值范围不一样，则不是同一个函数.通过具体的情景具体的问题追问3—5，让数学抽象的过程变得简单易懂.追问1—5讓学生经历“实例—观察、比较、分析—抽象”的过程，概括出函数自变量的取值范围是函数必不可少的一部分，培养学生数学抽象、逻辑推理等能力.情景1的探究过程唤醒了学生抽象思维，再研究情景2人口数量变化趋势、情景3某市一天24小时内的气温变化图对函数概念的影响，学生已经具备了基本的抽象和分析能力.

从情景1我们研究了函数的自变量范围对函数的影响，理解了函数自变量范围不同，两个函数不是同一个函数.初中时学生学习过自变量、函数值、函数关系，接下来我们会研究什么对函数的影响呢？学生类比刚学过研究函数自变量范围的方法，进而研究函数值范围、函数关系对函数的影响，从而理解函数的本质.

情景2：人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从中国统计年鉴中可以查得我国1979—2014年人口数据资料（年末）如表2所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？

追问1：1979年我国人口数是多少呢？1999年呢？

追问2：人口数是年份的函数吗？能写出函数的表达式吗？

追问3：请你写出人口数的集合B.

追问4：若将集合B改为集合{y1979≤y≤2014}，两个函数是否为同一个函数，为什么？

追问5：基于追问4的分析，你能举出表示同一个函数的例子吗？为什么？

情景3：图2为某市一天24小时内的气温变化图.

追问6：全天的最高、最低气温分别是多少？上午6时的气温是多少？

追问7：气温是时间的函数吗？能写出函数的表达式吗？

情景2中的追问1—5是类比情景1的研究方法，依托表格数据突出函数值范围对函数的影响，通过把有限集集合B变为无限集集合{y1979≤y≤2014}，让学生解释函数值集合与函数值所在集合的关系，让学生在思维的碰撞中去感知，集合的变化依然不改变原函数的内在本质，使学生在原有认知的基础上得到提升，使学生感悟到知识之间的内在逻辑联系，情景3中的追问6—7是借助图象突出“对应关系”对函数的影响，追问6全天的最高、最低气温分别是多少，学生根据图象可以直接回答出来，笔者将原来教材中“上午6时的气温约是多少”改为“上午6时的气温是多少”，通过新情景的创设，让学生观察、思考交流“气温是时间的函数？”，经历具体的数据之间的对应到一般对应的过程，学会了从细微之处去分析问题，逐步抽象并构建完整的函数概念.

2.4 分析概念内涵，理解学习内容

追问8：请你结合情景1、追问3、情景2、情景3的研究完成表3，并寻找四个情景中的函数共同特征是什么？

追问9：你能给出高中阶段函数的定义吗？

为了使学生能自主建构出函数的概念，笔者在课堂教学中提供追问8的表格让学生填写，让学生在做中学、做中思、做中悟，经过表格内容填写，教师可以根据学生课堂反应情况，可提出辅助性问题：自变量集合能否抽象为一个“代号”，对应关系呢？函数值所在集合是什么？然后再提出追问9，学生自己给出函数的概念就水到渠成，符号f（x）、定义域、值域也就掌握了，问题2中追问3也就迎刃而解.通过“实例—观察、比较、分析—抽象—表达—迁移—建构—反思”的过程，学生经历“三会”的过程，领悟“是什么知识、如何做知识”的思考历程，使学生数学抽象能力的培养得到落实.

2.5 助力思维升华，感悟获得什么

高中函数概念的本质是在集合视角下实数x0与实数f（x0）之间的单值对应，把实数x0与实数f（x0）组合在一起就是（x0，f（x0）），也就是函数的表示方法之一，也就是从“形”的角度内化函数的概念，可以理解函数的几何表示为一个动态的点，为后面函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性，三角函数诱导公式等的两个动态的点的剖析做了铺垫.

例题 已知函数f（x）=x2+1，

（1） 比较f（-2），f（1），f（3）的大小；

（2） 若0＜x1＜x2，试比较f（x1）与f（x2）的大小；

（3） 比较f（-1）与f（1），f（-2）与f（2），f（-3）与f（3）的大小？

（4） 请思考对x0∈R，是否有f（x0）=f（-x0）？

本例题是苏教版第109页例6的改编题，上承函数的概念的理解，下引函数的图象，为后面以图识性做好准备.问题（1）至（4）层层递进，问题（1）与（2）由一个点的研究转变为两个点的探究，为学习函数的单调性积累了思维活动经验.问题（3）与（4）是在教材的基础上改编的内容，由具体数字到一般字母相應的函数值大小比较，让学生体验函数图象的对称性，为学习函数的奇偶性做好了铺垫.整体上第一个层面从“形”和“数”角度出发理解函数概念的“输出”与“输入”的关系，进一步加深对函数概念的对应关系的理解，第二层面为研究视角发生改变，由一个点向两个点转变，两个点的研究方法可以借鉴一个点研究程序，采取特殊到一般的研究顺序，为学习函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性，三角函数诱导公式等提供思想和方法的支撑，体现数学抽象的思想.

3 指向以生为本的函数概念教学反思

基于上述教学设计，我们经过两轮教学改进，最终在课堂教学中获得令人满意的教学成效.总结这节课的教学，我们有以下三点体会.

3.1 教学设计要瞄准数学思想，加强学生理解数学本质

以生为本的教学设计要整体规划，培养学生的创造性思维.教师不仅要把握册与册知识点之间的关系、课时与课时之间的关系、概念之间的关系，还要从整体上把握知识的定位.函数的本质是单值对应，把实数x0与实数f（x0）结合在一起也就是研究（x0，f（x0）），此时研究的是一个点的问题，而函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、三角函数诱导公式等是以两个点研究为切入点的，因而可以借“一点”研究的力，继续研究“两点”的问题.

3.2 教学过程设计要立足学情特点，优化课堂教学情景

以生为本的教学设计要把握数学知识本质，站在学生视角思考问题，将学生转变为学习的主人，激发学生的求知欲.本节课的内容与旧教材比较增加了初中函数定义的陈述，增加了蕴含变量说和对应说之间本质区别的3个核心问题，部分教师在教学时忽略初高中函数的衔接.在原先设计中笔者按照课本情景顺序处理，学生面对不熟悉情景显得被动接受，在课堂上学生没有进行深度思考.为让学生能轻松进入情景集中思考，笔者对情景呈现的顺序进行了调整.初中的函数教学基于具体背景，教材中的情景2物体的下落适合学生的思维起点，从学生的认知经验出发，将教材中的情景2调整为情景1设置追问，有利于学生深入情景，探究新知.情景1的追问是对函数概念的再次拷问，以此引出再次研究函数概念的必要性，从而提高学生的逻辑推理、数学抽象的能力.

3.3 教学手段设计要选择合适载体，引领学生深度领悟

以生为本的教学设计要以核心素养作为教学目标追求，借助三会，达成学科核心素养.数学抽象是从具体到一般的探究过程，寻找诸多情景的共性并用数学语言加以精准的刻画.如何让“核心素养”看得见、讲得清，这是教师面临的一个困境.本节课通过表格填写—观察表格—共性分析—抽象概括的过程实现素养达成.具体在本文中出现了2次，情景1的出现顺应了学生的思维起点，情景1与追问3自变量的集合不一样，函数的表达式一样，产生思维上的冲击，引发学生深度思考.

另外一次是在情景3中出现的，学生通过完成表格，发现情景1、情景1的追问3、情景2、情景3的自变量的集合不一样，情景1、情景2、情景3的对应关系是不一样的，函数值集合是不一样的，继而教师提出辅助性问题“自变量集合能否抽象为一个‘代号，对应关系呢？函数值所在集合呢”，借助表格填写使学生处于核心概念的最近发展区，使“数学抽象”摸得着看得见.在这样的情景中学生领悟到数学抽象的操作步骤，再次体验特殊到一般思想.

以生为本的课堂要瞄准素养目标，创设符合学生认知过程的情景，引导学生理解数学本质，立足知识体系整体规划，一以贯之.力求在每节课中落实以生为本的教学理念，教师还需要在教学目标、教材分析、学情分析、活动设计等方面不断反思、提炼、实践.

参考文献：

［1］ 徐德同，黄金松.关于“理解数学把握本质”的几点思考［J］.数学通报，2022，61（3）：3740.

［2］ 史宁中.数形结合与数学模型［M］.北京：高等教育出版社，2018.