高中数学圆锥曲线的教学现状分析及思考

王鹏

［摘  要］ 圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，也是数学高考的热门考点，对于这部分知识的教学，应当在帮助学生积累数学知识、培养学生必要的考试能力的基础上，进一步通过数学思想方法的领悟，来实现学生数学学科核心素养的培养. 但当前圆锥曲线的教学现状表现为教师的教学取向相对单一，学生的学习思路比较狭隘. 圆锥曲线知识的教学，关键要考虑教学目标、学生的认知基础、学生的学习过程、学生的学习结果及评价等要素：数学学科知识方面的教学目标可以参考相关的教材以及高考原题；数学学科核心素养方面的教学目标，则可以体现在数学抽象、逻辑推理以及数学建模等素养上；学生的认知基础体现在空间想象能力、逻辑推理能力以及数学建模能力上. 这些为达成目标的努力能够帮助学生习得知识、获得素养.

［关键词］ 高中数学；圆锥曲线；教学现状；核心素养

圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，也是数学高考的热门考点，对于这部分知识的教学，传统思路往往是基于应试需要而展开的. 这一点无可厚非，因为在当前的评价体制下，作为重要考点的圆锥曲线，必须有明确的高考指向. 与此同时教师应当注意到，圆锥曲线在教学中的地位之所以如此重要，并不只是因为它是热门考点，还因为它充分体现着数学学科的特点，体现着数学家探究的智慧. 对于这部分知识的教学，应当在帮助学生积累数学知识、培养学生必要的考试能力的基础上，进一步通过数学思想方法的领悟，来实现学生数学学科核心素养的培养. 确定这样的教学目标，有着重要的现实意义和长远的历史意义，尤其是对于后者而言，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》进一步明确了高中数学课程的内涵，以及数学学科核心素养的组成要素，核心素养已经成为当前高中数学教学的重要目标，这一目标的实现必然依赖于日常教学过程，所以教师培养学生数学能力的同时，一定要开拓一条学生数学学科核心素养发展的道路. 在这样的视角下再去看圆锥曲线这部分知识的教学，就会发现当前的教学研究思路，一方面要对圆锥曲线的教学现状进行分析与梳理，从中找出应当继承的地方和应当优化的地方；另一方面要结合数学学科核心素养的发展，思考在圆锥曲线这部分知识的教学中，存在着怎样的核心素养培育契机. 事实证明，只有将两者结合起来，圆锥曲线这部分知识的教学，才能够同时承担起帮助学生通过高考、实现可持续发展双重任务.

笔者教学用的是苏教版高中数学教材，该教材在圆锥曲线这部分知识的编排中，体现出了其独有的特点. 研究圆锥曲线知识的教学，离不开对教材的分析，离不开对教材编写者编写思路的揣摩，当然也离不开对圆锥曲线在高考中所表现出来的趋势的研究. 将这些要素综合起来进行分析，可以进一步夯实核心素养培育的基础，也可以为学生的知识学习与运用提供实实在在的帮助.

圆锥曲线的教学现状分析

对当前圆锥曲线的教学现状的分析，可以选择几个有效的研究点，同时也可以采用比较研究的思路，即借鉴他人的研究成果，与自己的教学实践及研究进行对比，这样就可以兼顾全面，从而做出更准确的判断. 有研究者指出，目前在高中数学圆锥曲线的教学中，普遍存在学生不能牢固掌握圆锥曲线知识的问题，具体体现在学生虽然能听懂教师课堂上讲的内容，却无法应用于实际做题［1］. 这种情形实际上非常常见，只不过归因时，会出现仁者见仁、智者见智的情形. 笔者综合多方面的因素，对当前圆锥曲线的教学现状进行了如下两点分析（限于篇幅，这里不再举实例进行说明，只进行理论上的总结与阐释）：

首先，教师的教学取向相对单一.

上面已经提到，圆锥曲线是高考热点，也是数学内涵比较丰富的知识点. 可能也正是这个原因，使得这部分知识在高考中出现的频率非常高，尽管有时候与该知识点相关的题目难度不高，但是教师教学时往往不会掉以轻心，还是会从题型分析与综合、题目海量收集等角度，去寻找教学灵感. 原始教学就具有明显的应试特征，具体表现在知识教学的时间与空间被压缩，圆锥曲线所拥有的数学内涵不能充分体现出来.

其次，学生的学习思路比较狭隘.

应当说当前高中生面对学习现实的判断能力还是比较强的，但强大的应试压力使得绝大多数学生在数学学习中，都表现出了明显的功利倾向. 从此前经常批判的“教师考什么才教什么”，变成了当下的“学生考什么就学什么”，体现在圆锥曲线这部分知识的学习，就是学生也只想着这部分知识能够出怎样的高考题、如何求解此类题目……站在数学学科课程价值的角度来看，这样的学习思路显然比较狹隘. 在学生缺乏主动研究动机的情形下，圆锥曲线所蕴含的数学内涵即使再丰富，也不容易被学生吸收.

以上两种情形，在实际教学中同时发生，互相纠缠且互相影响，造成学生的学习空间相对狭隘，圆锥曲线知识的教学功能不能充分发挥. 当这样的现状引起笔者重视后，基于最常见的教学逻辑，笔者开始思考如何优化圆锥曲线这部分知识的教学.

圆锥曲线的有效教学途径

对于一个重要的知识点，教师要设计一个有效的教学过程，关键要考虑教学目标、学生的认知基础、学生的学习过程、学生的学习结果及评价等要素. 就圆锥曲线这部分知识而言，数学学科知识方面的教学目标可以参考相关教材以及高考原题，这里不再赘述. 数学学科核心素养方面的教学目标，则可以体现在数学抽象、逻辑推理以及数学建模等素养上，比如圆锥曲线概念的引出，涉及“平面截圆锥”这样一个动态过程，关系到数学抽象；同时这个过程又依赖于学生的空间想象能力，因此也与数学学科核心素养中的直观想象相关；至于对“截”的产物的判断与结果的描述，当然涉及逻辑推理以及数学建模.从学生认知基础的角度来看，高中生具有较强的空间想象能力、逻辑推理能力，以及在平常数学概念与规律学习过程中形成的数学建模能力等，都能够在圆锥曲线知识的学习中得以体现，能够帮助学生经历与数学学科核心素养相关的过程，从而习得知识、获得素养. 至于对学习过程与学习结果的反思，这是平常教学中容易被忽视的，也是教师不太愿意花费时间的环节. 但是在笔者看来，真正能抓好学习反思这样一个环节，无论是从知识理解的角度来看，还是从数学学科核心素养发展的角度来看，都有着重要的意义.

基于上述理解，对于圆锥曲线这部分知识的教学设计，笔者重点关注这样几个环节：

环节一：学生体验. 这一环节主要为学生理解圆锥曲线的来龙去脉、形成相对完善的认知结构服务，同时也为数学学科核心素养中的数学抽象服务.

“用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥，截面与圆锥面的交线是一个圆”，这是学生已有的认知基础. 此处要让学生体验的是：改变平面与圆锥轴的夹角，然后观察可以得到几种不同的截面. 学生的体验，可以基于数学实验的材料进行（需要提前做好准备，不赘述），也可以借助课件进行，强调的不一定是学生亲自动手，但必须是高效用脑. 当学生通过加工实际操作获得的结果或课件上的内容，并在大脑中形成表象后，学生就会发现，夹角不同得到的圆锥曲线不同（具体如图1所示）

环节二：学生推理. 这一环节主要为学生认识几种典型圆锥曲线的类型及性质服务，同时为几何直观和逻辑推理服务.

完成数学抽象后，学生大脑中的研究对象应当成为抽象的图形，这里就需要建立对应关系——这实际上是进一步抽象，同时也需要学生有一定的直观想象能力作为支撑. 图2展现的对应关系，就是深度抽象与几何直观的结果. 有了这一结果后，学生自然就会借助此前学习过程中形成的逻辑认识，来对这些元件的出现进行区分，并且完成下定义以及探究性质的过程（这在传统的知识教学中比较受重视，这里不再一一赘述）. 重点想强调的是，必须让学生经历一个丰富的几何直观与逻辑推理的过程，确保学生形成体验感.

环节三：学生建模. 这一环节主要为学生理解几种典型圆锥曲线的概念及性质服务，同时为数学建模服务.

圆锥曲线知识的学习是一个重要的数学建模机会，其所追求的教学效果应当是：当学生看到椭圆、双曲线、抛物线的概念后，就能够立即在大脑中出现相关的圆锥曲线图形——这里强调的“立即出现”，不只是指学生在知识掌握层面的熟练，更指学生完善自身认知体系后表现出来的对圆锥曲线类型及来龙去脉的熟悉，同时能够清晰阐述它们的性质，能够明晰自己在这部分知识学习过程中所运用到的数学思想方法，知道自己经历了数学抽象、逻辑推理以及数学建模等过程（不是说学生能够说出这些概念，而是指学生能够知道自己体验过这些过程）. 如果说学生能够达到这些水平的话，那么就可以认为本节课的教学是有效的.

很显然，相对于传统教学来说，这是一个数学知识建构与核心素养发展双丰收的教学过程，是圆锥曲线这部分知识教学新的突破. 进一步分析：跟上面分析的圆锥曲线教学的现状相比，这样一个拥有上述教学环节的教学过程，不仅说明了知识教学与核心素养培育可以同时进行，而且也证实了数学学科核心素养的发展有助于促进学生对数学知识的理解，从而提升学生的应试能力.

圆锥曲线的教学实践反思

作为教师，需要对自己的教学实践进行反思，因为只有反思才能发现教学中的不足，才能发现教学新的突破点. 上面的总结，既是笔者对已有教学反思的结果，又是未来教学反思的对象. 如此理解高中数学圆锥曲线知识的教学，笔者认为从方法论的角度来看，是科学的也是合适的. 毕竟，在高中数学教学中，圆锥曲线相关知识既是重点又是难点. 面对这一难点与重点，教师自然必须思考难点应当如何突破，重点应当如何体现.

值得一提的是，对圆锥曲线知识难点的确定，除了常规意义上的知识难点以及容易出现的难题外，还要从数学学科核心素养培育的角度去观察. 必要时还应当增设一些学习环节，以便于学生能够经历更为丰富的知识学习过程，同时让学生在学习过程中充分体验数学学科核心素养落地. 这是笔者在教学研究中获得的一个重要经验.而且这样的学习环节的增设，通常不会影响学生对数学知识的掌握与运用，也就是说不会影响学生应试能力的培养. 比如生成三种典型圆锥曲线的体验过程，就不应当被忽略. 看起来学生的体验会占用一部分学习时间，但是这部分时间的花费是完全值得的，就是因为当学生经历这样的体验过程，大脑中关于椭圆、双曲线以及抛物线的表象会变得十分清晰，这不仅有助于学生理解圆锥曲线的性质，而且有助于学生产生新的有价值的问题. 比如有学生发现三种典型圆锥曲线的性质描述，基本上遵循着同一种模式，因此可以用同一张表格来梳理——当学生有了这一自主发现后，就可以挖掘出类似于表格这样的工具，比如人们常说的思维导图，这有助于学生思维的发展.同样还有学生提出：“为什么一个平面去截圆锥，就可以得到这些元件呢？这不可能是偶然的结果，其中必然存在着一定的规律.”“圆锥曲线在自然界中有着那么大的实际应用价值，这说明数学与现实世界之间的联系非常紧密.”……

这些观点在传统教学中是很难出现的，但在当下课堂中却频频出现，恰恰说明了上述教学思路是有效的，这样的教學思路是应当坚持的.

参考文献：

［1］ 姜文新. 高中数学圆锥曲线教学现状分析及其研究［J］. 语数外学习（高中数学教学），2014（10）：70.

［2］刘志有. 高中数学圆锥曲线教学的有效性策略分析［J］. 数学教学通讯，2014（15）：36-37.