隐圆定义在圆锥曲线问题中的应用探究

杨来

［摘  要］ 利用隐圆定义可以解决圆锥曲线相关问题，即根据隐圆定义确定动点轨迹，提取圆的方程，进而结合圆的方程来运算推导. 隐圆定义较多，常用的有定长、距离平方和、张角、距离比值四大定义，文章结合实例开展隐圆定义的解题探究及教学思考.

［关键词］ 隐圆；定义；圆锥曲线；方程

“圆的方程”是高中数学重要的知识考点，实际考查的问题中可能不会直接给出圆方程相关信息，但挖掘、转化、分析题目条件，可以获得需要的信息，然后推导求解. 对于一些圆锥曲线问题，可以借助隐圆定义，提取问题中的圆方程求解，下面开展实例探究及解题思考.

隐圆定义，解题探究

1. 隐圆定义——定长定义

隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长，该定义是基于圆上各点到圆心的距离均相等来构建的. 解题时要关注题目中的定点位置和动点轨迹以及定长，根据隐圆的第一定义来提取圆的方程.

评析 在上述问题中，点A为定点，点P为动点，两点满足定长条件AP=1，根据隐圆的第一定义可以推导出圆的方程，后续借助圆的参数方程完成最值求解. 对于隐圆第一方程的应用，要关注三大要素，即定点坐标、动点运动、定长条件，在此基础上推导方程.

2. 隐圆定义——距离平方和定义

隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值，即圆上动点到两定点距离的平方和为一定值. 该定义可视为关于圆标准方程的抽象. 实际求解时要关注问题中的动点和定点，根据距离平方和的条件来构建代数方程，确定隐圆情形.

评析 上述解析利用的是隐圆的第二定义，即根据动点到两定点距离的平方和为定值这个条件来构建代数方程，进而确定点D的轨迹为圆. 利用该定义推导隐圆，一般分两步：第一步，建立坐标系，推导关键点的坐标；第二步，根据距离的平方和构建方程，并转化为圆的标准方程，进而确定隐圆.

3. 隐圆定义——张角定义

隐圆的第三定义：动点到两定点的夹角为90°，即动点到两定点连线的夹角为90°，则该动点的轨迹为圆. 该定义是基于圆的特性“直径对直角”所构建的. 实际求解时注意开展角度分析，确定其中90°角，进而提取圆的方程.

评析 上述解析借用的是隐圆的90°角定义，即通过几何分析确定其中的垂直关系，进而确定动点轨迹为圆，推导出圆的方程. 对于隐圆的90°角定义的运用，有两种思路：一是开展几何特性分析，推导张角为90°；二是逆用勾股定理，推导垂直关系.

4. 隐圆定义——距离比值定义

隐圆的第四定义：到两定点的距离之比为定值，即构建动点到两个定点的距离，若比值为定值，则该动点轨迹为圆. 实际解题时同样要重点关注动点和定点，合理构建平面直角坐标系，将比值条件转化為代数方程，进而确定隐圆.

例4 被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k（k>0且k≠1），则P点的轨迹是一个圆心在AB直线上的圆，简称“阿氏圆”. 据此请回答如下问题：

解析 可以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图4所示.

评析 上述解析利用的是隐圆的距离比值定义，即建立平面直角坐标系，算出关键点的坐标，结合比值条件构建代数方程，进而推导出圆的方程. 此类问题解析时需要注意两点：一是合理建立平面直角坐标系；二是关注特殊点，准确确定动点的运动范围.

解题思考，教学建议

隐圆定义在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，利用定义可直接确定动点的轨迹，确定圆的方程，充分简化解题过程. 上述结合实例探究了隐圆的四大定义，其解题思路及构建过程有一定的参考价值. 下面进一步开展教学思考，提出几点建议.

1. 关注定理定义，挖掘知识内涵

定理定义是高中数学的教学重点，也是后续探究的基础，探究学习圆锥曲线时要关注教学中的定理定义，结合图象深刻理解其内涵，如上述隐圆的张角定义，本质上是圆周角定理的衍生. 在实际教学中，教师要重视指导学生关注圆锥曲线的定理定义，挖掘定理定义的内涵，可以采用数形结合的方式，即结合具体图象，指导学生完成“定理定义解读→图象诠释→内涵挖掘→应用探究”的系统学习.

2. 总结隐圆定义，探究总结应用

上述是利用隐圆的四大定义破解圆锥曲线问题的具体过程，涉及定长定义、距离平方和定义、张角定义、距离比值定义，不同定义适用于不同的问题情形，解题时要注意解析题设条件，确定问题类型，再结合隐圆定义来确定方法. 在探究教学中，教师要从三点进行引导：一是引导学生总结隐圆定义，分析对比不同定义的异同点，掌握不同定义适用的问题情形；二是引导学生掌握不同隐圆定义的解题思路，包括分析过程、解题构建、注意事项等；三是引导学生应用探究，结合实例具体讲解，让学生内化吸收，形成自我的解题策略.

3. 挖掘解题思想，提升综合素养

使用隐圆定义解题涉及众多思想方法，如化归转化、模型构造、数形结合等，实则是在数学思想的指导下完成思路构建、运算解析等. 因此，教学中教师要合理渗透数学思想方法，引导学生掌握思想内涵，掌握利用数学思想进行解题构建的技巧. 关于思想方法的教学渗透，教师可以从以下两个方面进行：一是开展定义讲解，阐述思想方法的本质内涵，以及解题的重点，如利用数形结合法解题时图形与运算的分析紧密配合，由“数”构“形”，以“形”释“数”；二是解题过程中详细讲解思想方法，可结合具体问题进行过程拆解，让学生思考重点步骤所使用的数学思想方法，从而具体感知思想方法的应用.

写在最后

利用隐圆的四大定义可高效破解圆锥曲线相关问题，通常解题过程可以分为两个阶段：一是解析条件，利用定义构建隐圆，推导圆的方程；二是结合圆的方程开展分析推算，求解问题. 在探究教学中，教师要引导学生深刻理解隐圆定义，归纳总结定义，讲解使用技巧，结合实例强化解题应用，同时关注学生的思维培养，提升学生的数学素养.