浅析高中数学运算素养的培养措施

庞翠

［摘  要］ 纵观当前高中数学教学，学生做的练习不少，但运算素养一直有待提高. 究其主要原因，在于不少学生没有足够重视运算的作用，缺乏良好的运算习惯与思维. 文章从“调整运算思路，简化运算过程”“渗透求简意识，找准运算方法”“观察运算拐点，指点运算方法”“锁定运算症结，探寻矫正措施”四个方面，具体谈谈如何培养学生的运算素养.

［关键词］ 运算素养；培养措施；思路

运算素养是数学核心素养的六大要素之一，也是传统的数学三大能力之一. 运算是指在明确运算对象与法则的基础上，解决数学问题的过程，主要包括明确运算对象、理解运算法则、探索运算思路、设计运算程序、择取运算方法、获得运算结论六个环节. 运算既是解决问题的一种基本手段，又是一种基本的数学能力，运算能力的发展可促进运算素养的提升.

调整运算思路，简化运算过程

笔者曾在所授班级做过一个小调查：“解析几何的学习，什么让你觉得最难？”一石激起千层浪，学生反馈的结果有：解题方法和解题思路的选择最难，运算过程过于烦琐，等等. 其中，对于运算烦琐的反馈最多. 结合多年的教学实践，笔者对运算的感悟颇多，特别是运算思路不同，导致运算过程千差万别. 因此，择优运算思路是解决运算烦琐问题的关键.

案例1 “直线与圆”的复习教学.

这部分内容是高中阶段的重点与难点，学生在基础知识的掌握上表现得还比较好，但在运算环节出现的问题着实不少. 同一问题，有的学生会产生异常烦琐的运算过程，而有的学生简简单单就能获得结论.

解析 （1）该问的解题思路比较简单，纯属基本运算，故略.

师：大家对于这种解法有什么体会？

生1：这种解法，在计算点M坐标的过程中出现了较大的运算量.

师：有没有什么办法可以避免这个烦琐的运算过程呢？

生3：根据题意，点A，M，N三点共线，如果从向量的角度来解题，或许能减少运算量.

师：你们说得都有道理，现在请大家以小组合作交流的方式来讨论如何简化运算量这个问题.

学生经过合作交流，呈现出以下解答方案：

师：非常好！观察以上两种解法，第一种分别求出两点的坐标，第二种只求出其中一点的坐标. 有没有什么办法可使两点的坐标都不求，也能获得结论呢？

（学生沉默）

师：大家从平面几何的性质着手试一试.

生4：或许可以用相似三角形的性质来破解这个问题.

师：这是个不错的主意，现在请大家独立思考后相互交流.

纵观以上三种解法，一次比一次简洁、优化. 后面两种解法之所以简单，是因为从题设条件中发现并利用了重要的特殊关系——垂直. 由此也能看出，特殊的关系在一般性问题中具有重要意义. 后面两种解法，虽然运算量比第一种小，但对学生的思维要求较高，对于认知水平较弱的学生，确实存在一定的困难. 基于此，解法1也不能完全放弃.

渗透求简意识，找准运算方法

在高中数学的解析几何中，用来简化运算的方法主要有向量法、几何性质的应用、回归定义、设参等，但不论应用哪种方法，目的只有一个——简化运算过程，准确获得结论. 因此，在日常教学中，教师应不断渗透“求简”意识，使学生学会从不同的思路思考问题，尤其遇到特別烦琐的运算时，一定要找准简化运算的方法.

很多时候，运算方法的差异，会导致运算正确率千差万别. 值得注意的是，不能为了简化运算就一味地探寻最简的方法，而忽略了问题中存在的隐含条件.

案例2 “三角与向量”的专题复习教学（高三一轮复习）.

（2）b+c的取值范围是什么？

生5：（1）借助三角形面积公式与余弦定理，不难获得b+c=4的结论.

师：是否存在其他解法？

两种解法呈现出了不同的结论，究竟哪里出了问题呢？教师要求学生自主思考，探明原因. 过了约3分钟，有学生提出：生5在解题过程中遗漏了“三角形中，两边之和必大于第三边”这个隐含条件.

师：虽然用余弦定理解决本题更加便捷，但对于“范围类”的问题来说特别容易出现遗漏. 正弦定理将待求问题转化为一个角的三角函数形式去解，纵然运算复杂了一些，但正确率更高. 值得注意的是，我们应精致化“角”的取值范围才行. 本道题让你们有什么收获？

生7：解决三角形问题时，要时刻关注“取值范围”“定义域”这些隐性条件. 同时，利用基本不等式进行运算，要注意符号“≤”与“≥”能否取到等号.

综上分析不难发现，运算思路决定着运算过程的难易，也决定着运算结论的对错. 因此，教师应加强学生对不同运算思路的应用，让学生在类比、分析中，不断完善认知体系，形成严谨的思维习惯.

观察运算拐点，指点运算方法

纵观学生的练习与考试，大多数学生的运算思路并没有多少问题，但对一些较复杂的知识结构缺乏处理能力，鲜有学生能站到宏观的角度去微观处理细节问题. 正因为如此，学生在运算过程中就出现了不少问题. 若教师能发现学生的问题，并在“拐点”处适当给予指导，常能取到意想不到的效果.

案例3 “三角”的专题复习教学.

（学生沉默）

师（提示2）：展开cos（A+C）看看？

教师顺应学生的思维，在学生思维的障碍点及时给予点拨与提示，有效激发学生思维，让学生适时调整运算方法，顺利获得答案. 在教学中，教师可以根据学生的实际情况，结合教学内容的特点及时分析问题的“拐点”，通过精准点拨，常能促进学生及时反思并调整运算方法，最终提高运算能力.

锁定运算症结，探寻矫正措施

每个学生受社会、家庭与教育等因素的影响，思维模式与思维习惯存在较大的差异，在数学运算上表现得尤为明显. 有的学生存在的问题是运算习惯差，有的学生则是运算思维不好，还有的学生表现在运算合理性差等方面. 教师只有在充分了解学情的情况下，找出学生解决问题的“症结”，才能做到“对症下药”，让矫正措施更有效.

案例4 “数列”的教学.

此题为一道典型的等差乘等比数列问题，解决这类问题的关键在于“两式错位相减”，对于大部分学生来说难度并不大，但笔者所授班级在本题的实际得分率仅有35%. 大部分学生的问题出在运算上——应用错位相减法解题，最后一项本该为－（2n－1）3n，却写成了（2n－1）3n；也有少数学生弄错了项数.

笔者讲评时，与学生一起分析了错误原因，做了相关提醒，同时要求学生在原题旁边用红笔订正，并上交批阅. 但在一周后的测试中，又出现了一道与本题类似的问题：

从本题来看，不少学生虽然明确运算方法，但遇到实际问题时，却屡屡出错，究竟是何原因？笔者为此对学生进行了访谈并统计，原因总结为以下几点：第一，学生第一次接触错位相减法是在学习求等比数列前n项和之前，这种方法出现时快下课，不少学生产生了“分神”的情况，课后又没有及时巩固、吸收，导致“消化不良”的现象出现；第二，部分学生在订正问题4时，没有独立思考并再做一遍，而是直接将点评订正在原题旁边，缺乏深入思考与实践体验的过程，当再次遇到类似问题时，便无法准确解题；第三，部分学生日常不重视计算，依赖计算器，导致计算能力薄弱.

一旦找出“症结”，便可制定相应的对策. 针对这些问题，笔者认为可作如下改进：

（1）让学生明确运算的重要性.运算贯穿整个学习生涯，不仅体现在数学学科的教学中，在物理、化学等学科中同样重要. 教师应不断强化学生的运算意识，让学生从理念上充分认识到运算的重要性，为付诸行动奠定基础.

（2）培养学生良好的运算习惯.运算讲究方式方法，更讲究习惯. 当面临实际运算时，首先要分清运算步骤与得分点，只有规范运算过程，才能保证不丢分；其次对每一步的运算应做到脚踏实地，稳扎稳打，形成良好的运算习惯，保证在“实战”中稳中求胜.

（3）掌握课堂运算教学的节奏. 在运算教学中，应给学生留足时间与空间去探索，否则学生会掌握不牢固，如笔者在下课前匆忙讲授错位相减法，学生就因为缺乏探索的时间和空间而出现了各种问题. 因此，教师应注重把握运算教学的节奏，只有做到张弛有序，才能让学生从根本上掌握运算技巧，达到“以不变应万变”的运算能力.

總之，教师应在明确运算对象与类型的基础上，设计运算流程后再实施教学. 学生只有经历过“知（掌握理论）—信（形成信念）—行（付诸行动）”等阶段，才能从真正意义上提升运算素养.