数学建模意识略谈

李学育

［摘  要］ 数学建模是发展学生数学应用意识，提高学生数学应用能力的重要途径. 文章以具体问题情境为切入点，带领学生经历知识形成和应用的过程，切身体验不同增长的函数模型的差异，感悟函数模型的应用价值，从而通过经历、体验、应用、感悟提高学生学习的有效性，提升学生的数学应用能力.

［关键词］ 数学建模；函数模型；应用意识

众所周知，数学与现实生活相互沟通、相互联系. 为了能够让数学更好地服务于生活，在数学教学中，教师要引导学生经历知识形成和应用的过程，让学生在应用的过程中通过抽象、简化，逐渐建立起数学模型，以便学生更好地运用数学知识解决现实问题. 因此，在高中数学教学中，教师应加强模型训练，重视学生数学建模能力的培养. 不过，在日常教学中，因受传统“灌输式”教学的影响，部分教师习惯将现成的数学模型讲授给学生，让学生利用这些数学模型去解决现实问题. 从解题的角度来看，直接套用数学模型在一定程度上可以节省时间，但是缺失建模过程，难以让学生对数学模型形成深刻的认识，这将影响学生的长远发展. 教师应以学生的认知结构为基础，鼓励学生经历知识形成、发展和应用的过程，以此理解数学本源，建立和应用数学模型，提高教学有效性.

笔者教学“几类不同增长的函数模型”时，以学生已有的认知结构为出发点，通过对比分析带领学生理解不同增长的函数模型的意义，在培养学生建模能力、提高学生应用意识等方面取得了较好的效果，现将教学过程呈现给大家，仅供参考.

教学分析

函数模型在解决现实问题中有重要作用，本课以指数函数、对数函数、幂函数这三类不同增长的函数模型为例，带领学生切身体验增长函数模型在解决实际生活问题中的现实价值，有效培养和发展学生的数学应用意识.

1. 教学目标

（1）借助函数图象、表格数据等，体会不同函数的增长差异；

（2）结合实例体会函数模型的意义；

（3）灵活运用不同的函数模型解决一些现实问题，体验函数模型的应用价值.

2. 教学重难点

（1）将实际问题转化为函数模型；

（2）比较不同函数模型的增长差异；

（3）如何选择适合的函数模型.

教学过程

1. 创设情境，引入主题

师：大家应该都听说过，澳大利亚的兔子泛滥成灾，为什么兔子会由原来的几只变成现在的百亿只呢？

生1：它反映的是一种自然界的增长现象. 兔子的增长速度极快，呈爆炸式增长，加之没有得到有效控制，因此泛滥成灾.

师：说得很好. 如果这一实例用函数模型来表达，你们认为用哪个函数模型最适合呢？

生齐声答：指数函数.

师：是的，我们生活中有许多这样关于增长的例子，你能列举几个吗？

学生积极思考，列举了许多关于增长的例子. 在此基础上，笔者引导学生运用与之相对应的函数类型进行表征，以此引出本课的主题“几类不同增长的函数模型”.

师：指数函数、对数函数、幂函数等都是增长函数模型，它们增长的幅度和态势是否相同呢？

生齐声答：不同.

接下来笔者利用几何画板展示了它们的图象，以便学生获得更加直观的感受，为后继更深层次地探究做铺垫.

2. 合作探究，感性体验

师：相信大家都有一个属于自己的“小金库”，为了更好地管理“小金库”，可以用它来做投资，现为大家提供三个投资方案. （用PPT展示方案）

方案1：每天的收益均为40元；

方案2：第一天的收益为10元，以后每天的收益较前一天增加10元；

方案3：第一天的收益为0.4元，以后每天的收益是前一天的2倍.

师：如果是你，你会如何选择呢？

问题给出后，笔者先让学生认真阅读，理清题意后互动交流，以便通过不同思维的碰撞找到问题解决的突破口.

应用题的综合性强，为了便于学生进行有效的互动交流，笔者给予了一定的提示.

师：为了找到最优投资方案，你认为我们现在最需要做的是什么呢？

生2：将这个问题转化为数学问题.

接下来，笔者鼓励学生将生活问题逐渐向数学问题转化，根据数量关系写出各个方案的函数表达式，并结合图象、列表等方法进行对比分析，比较不同的增长.

师：对于以上问题，从解决问题的角度来看，我们需要比较哪些呢？

生2：比较每天的收益.

师：每天的收益是如何变化的？

生2：方案1每天的收益是相同的，每天都是40元；方案2第一天的收益是10元，第二天是20元，第三天是30元，以此类推，呈直线增长；方案3第一天的收益虽然少，但是后面增长很快，呈爆炸式增长.

师：分析得很透彻，那么我们选择方案时，只比较每天的收益客观吗？

生3：不客观，应该比较若干天累积的收益.

师：很好. 从解决问题的方法来看，我们可以如何处理呢？

生4：根据已知中的数量关系列出函数解析式，再用函数解析式对比分析.

师：还有其他方法吗？

生5：列出函数解析式这个思路没有问题，但是直接用函数解析式对比分析不够直观，可以画图分析.

生6：也可以用列表的方式比较.

这样借助不同形式的对比分析，让学生进一步体验不同增长函数的增长变化存在较大差异，获得更加直观的感性认识. 例如，利用图象分析，让学生对“直线增长”和“爆炸式增长”有了更加清晰的感性认识；利用列表的方式比较，让学生体会到不同增长函数的增长趋势.

師：根据以上分析，你认为如何设计投资方案更合理呢？

生7：根据以上分析可知，投资收益与投资天数有关，若仅投资1～4天，方案1为最优方案；若投资5～8天，方案2为最优方案；若投资9天及以上，方案3为最优方案.

师：你们认为生7设计的投资方案合理吗？

生8：我认为这个方案不合理，我们计算收益时应该算累积收益. 例如，在第5天时，若使用方案1，其累积收益为200元；而使用方案2，其累积收益为150元. 由此可知，生7设计的投资方案不合理.

经历以上过程，学生知道，若想设计最优投资方案，除了要考虑每天的收益外，还要考虑累积收益，这对影响方案选择的因素有了更深层次的认识. 接下来，在原有表格的基础上，学生又设计了累积收益表，通过观察可知，若投资7天以内，应选择方案1；若刚好投资7天，方案1和方案2的累积收益均为280元，所以两个方案均可；若投资8～10天，应选择方案2；若投资11天及以上，应选择方案3.

以上教学过程，从学生的认知结构出发，通过对比分析让学生对增长函数的增长趋势有了更深入的理解，不仅培养了他们数学分析和数据处理能力，还提升了他们应用数学的能力.

3. 深入探究，理性分析

師：刚才大家的表现都很棒，现在大家看看这个问题该如何解决. （用PPT给出问题）

问题：某公司为了激励销售人员的销售热情，实现1000万元的利润目标，按照销售利润对员工进行奖励.奖励方案如下：当销售利润达到10万元时，奖金y（单位：万元）随着销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金y不得超过5万元，且奖金y不超过利润的25%. 现提供三个奖励模型：①y=0.25x；②y=logx+1；③y=1.002x. 你认为哪个模型比较适合该奖励方案？

问题给出后，笔者预留2分钟的时间让学生审题，然后通过师生互动的方式共同审题，并板书.

师：阅读题目，你们有什么发现？

生9：利润x∈［10，1000］.

生10：奖金y不超过5万元，即y≤5.

生11：奖金y不超过利润的25%，即y≤0.25x.

师：那么奖金随着利润增加而增加，这说明了什么呢？

生12：奖金在定义域内是增函数.

设计意图 解决现实问题，审题至关重要，除了厘清题意外，教师还要引导学生将现实问题转化为数学问题.

师：根据已知可得y≤5，对于以上三个奖励模型，可以如何验证y≤5呢？

设计意图 引导学生用不同手段对三个奖励模型进行对比分析. 有的学生采用解不等式的思路精准运算，有的学生借助图象直观观察，这样通过不同方法比较不同的函数模型，初步确定对数函数模型是最适合的模型，为进一步研究确定了思考方向.

生13：好像在［10，1000］内的x都满足.

师：为什么是好像呢？看不清吗？放大后呢？

生13：这次看清了，确实满足.

生14：其实只要将x=10代入计算就可以了. （其他学生感到疑惑）

师：为什么呢？（笔者追问）

生14：两个函数都是增函数，但其增速不同，直线的增速大于对数函数的增速，所以随着自变量不断增大，其差距也越来越大.

师：对于对数函数的增速，谁来准确描述一下？

生15：开始时增长较快，后来越来越慢.

师：很好，那么F（x）在x∈［10，1000］上具有单调性吗？

生16：F（x）应该是一个单调递减函数.

师：为什么？

生17：根据图1可知，两个函数的增长速度不同.

师：很好，我们来验证一下. （用几何画板作图验证，如图2所示）

师：函数在x∈［10，1000］上的最大值是什么？

生齐声答：F（10）.

4. 反思总结，归纳提升

师：通过本课的学习，你有哪些收获？

生18：通过对比分析，对对数函数、指数函数等不同增长的函数模型有了更加系统的认识，体会到了它们的增长差异.

生19：在解决实际问题时，可以将其转化为对应的数学模型，这样可使问题变得更加清晰、直观，更易于解决.

……

学生通过反思回顾，有助于知识的系统化建构，有助于问题解决能力的提升.

教学反思

1. 学以致用，凸显价值

“学以致用”是数学教学的真正价值所在，教学中教师应重视学生数学应用意识的发展. 培养学生的应用意识最直接的方式是引导学生运用数学知识去解决实际问题，继而让学生通过切身经历感悟数学的应用价值，以此激发学生的数学学习热情，提高学生的数学应用能力. 在本课教学中，笔者引入不同的生活实例，引导学生用数学眼光分析问题，用数学模型解决问题，体验知识形成和应用的过程，以此激发学生的数学学习热情，提高学生的自主学习能力，让学生在实践中提高解决实际问题的能力.

2. 设疑提问，激发潜能

在数学教学中，若想让学生对数学知识有更加深入的理解，教师应在关键节点设置疑问，以此引发数学思考. 同时，在问题解决的过程中，要鼓励学生互动交流，从而通过不同思维的碰撞点燃学生思维的火花，让学生获得更为广泛、更为全面的理解，以此提升学生解决实际问题的能力. 当然，这里的“设问”不是简单的几个“为什么”，而是那些具有启发性的、目的性的问题，只有这样的问题才能引发学生积极的思维活动，激发学生的潜能. 在本课教学中，笔者以生为本，通过有效的问题情境诱发学生思考，让学生对问题的理解由感性逐渐上升至理性，通过对比分析发现数学本质，提升数学素养.

3. 经历过程，建构模型

建构模型往往是一个长期的过程，因此模型建构时教师不要急于求成，应带领学生经历知识形成、发展和应用的过程，在过程中通过示范引导，耐心鼓励，逐渐建构模型. 同时，教师要让学生体验到数学模型在解决实际问题中的价值，以此激发学生建模的热情，提升教学的有效性.

总之，教学中教师切勿急于求成，应为学生提供一些机会和平台去经历、去体验、去探索，以此激发学生的数学学习热情，提升学生的数学应用能力.