遇“数”不惑 寻“形”而导

胡艳英

摘 要：在数学教学时，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合才是王道.“数”与“形”相关联，让抽象的数学知识“有形可寻”，学生在具体形象中掌握知识的本质属性，进行深度学习.本文通过研究三下第四单元练习中的一道习题，深度挖掘教学材料内在的学习线索与数学本质，充分发挥学生学习主体性，有效提升学生的深度学习水平，让学生经历伴随学习，培养学生高阶思维能力.

关键词：数形结合；深度学习；高阶思维

深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判地学习新的知识和思想，并将它们融入到原有的认知结构中，且能将已有的知识迁移到新的情境中的一种学习.小学数学深度学习则是在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程.《义务教育数学课程标准（2022年版）》也明确提出了“四基”，即学生通过学习，获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.从传统的“双基”演变成现在的“四基”，新添加的基本思想和基本活动经验其实体现了数学素养，而数学素养如何培养重在学生的思考和实践，由此可见，学生学会深度学习、真正参与其中的教育教学活动是至关重要的.但在实际教学中，教师们在对具体内容进行教学时，往往会比较过多地关注学生基础知识和基本技能的掌握、关注某个生动的例子或者某个有趣的课外拓展等，而忽视了学习素材内在的学习线索与数学本质，忽视了学生深度学习的真正发生.

笔者认为有价值的学习材料需要教师去深度挖掘其内在数学本质，并以此设计有意义、面向问题解决的学习任务，让学生从浅层学习走向深层学习，追求对学生高阶思维能力的培养.

1 探索——深度学习的核心教学内容

深度学习以理解为前提，而不是机械的记忆.要想学生在课堂上经历深度学习的过程，首先教师就要对数学素材进行深度挖掘，像这样有价值的素材有很多，比如现行人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》三年级下册第四单元《两位数乘两位数》第51页练习十一中有一道通过计算找规律的题目.“计算下面第一列各题，你发现了什么规律？请根据规律直接填写其他各题的得数.15×15= 25×25= 35×35= 45×45= 55×55= 65×65= 75×75= 85×85=”

这些算式乘数的十位上的数字相同，个位上的数字之和为十，像这样的算式叫头同尾合十，计算此类算式时是有特殊并且快速的巧算方法，但学生只通过这样的计算题的形式是否能真正掌握此类题目的巧算方法呢？因此，笔者用问卷调查的方法采访了学校四年级学生，通过问卷调查结果显示，学生知道头同尾合十算式并能正确利用巧算规律计算只占13.2%.询问相关教师后发现，教师只是让学生做一遍后说一说发现的规律，让学生机械记忆这个巧算规律的结论，而且结论是通过不完全归纳法得出的，没有经过演绎的推理过程，在学生的脑子里根本没有留下烙印，过一段时间就遗忘了.说明在实际的教学过程中，许多数学教师对教材的认识不够深刻，忽视了一些练习题所担负的使命，没有去深度挖掘此题背后的本质内涵.

笔者仔细研读教材后也发现，学生学完笔算进位乘法之后，在教材的练习中的确出现了此题.因此，笔者对这一学习材料进行深入研究，挖掘其内在的学习线索与数学本质，科学、合理、有序地组织学生展开数学探索活动，让学生知其然而不知其所以然，以期促进深度学习的真正发生.

2 经历——深度学习的丰富教学活动

深度学习的重点在于关注学生的学习过程，提升学生的综合素养.通过深度学习的教学过程，让学生掌握数学的核心知识，经历有意义的学习过程，把握所学内容的数学本质，体验所学内容的思维方法，促进学生关键能力与核心素养的发展，形成积极的情感、态度.在实践教学中，如果能让经历助力成长，它能最大化激发学生学习的主动性，同时也能让学生充分感受到学习的乐趣和成长的快乐.

例如在这一题一课的教学过程中，学生通过头同尾合十题目的计算后，可以显而易见地得出头同尾合十的巧算规律，但如何让学生证明这个巧算规律，把握这个规律的数学本质呢？其实很多数学内容、概念都具有“双重性”，既有“数的特征”，又有“形的特征”，只有从这两方面来认识它们，才能更好地理解并掌握它们的本质意义.而此题内容就符合这样的“数”与“形”的特征，通过数形结合，经历3种不同的教学活动，让学习内容变得更形象、更生动，逐步培养学生对数与形之间化归与转化的意识，让学生在深度探究中提升综合素养，发展多方面的能力.

2.1 算理明悟：“数”中寻“形”，初建模型

深度学习的课堂应立足于学生学习动机的激发和保持.只有真正激发学生的学习动机，并不断地保持学习动机，学生才能真正融入到整个课堂学习中.这就要求教师在教学设计时不断激发学生的学习动机，为学生提供丰富的、富有挑战色彩的研究性问题，以此来促进学生学习真正发生.

例如在这一课的教学中，我们通过前测，了解了已经知道头同尾合十巧算规律的学生，化身記者采访他们快速计算的秘密，并提问其他学生“为什么可以这样算？”，因为只有理解了算理的由来才能真正掌握算法——“如何计算”.接着让学生自己在“数”中寻找“形”，把问题转化为图形去解决问题，这样直观的呈现，易于学生的理解和接受.学生在探究知识点隐含着的深意、领悟巧算算理的过程中，学生的建模思维得到发展，形成抽象的巧算方法，真正展开知识的形成过程，培养学生的数学思维.

【教学片段截取】

实践证明，学生对于巧算算理和算法的理解，不应该仅仅停留在机械的记忆上，而是应该建立在对知识点的本质理解之上.算理教学中教师也往往要引导学生，用数联系形，以形诠释数，在关联和对比中直击了知识重点，直观中明晰了算理，抽象中掌握了算法.在这样的学习动机的激发和保持中，学生学习经验不断积累，促进了学生学习的深度发生.

2.2 矛盾冲突：“形”中验“数”，打破模型

深度学习的课堂应着眼于高阶思维的运用.美国教育学家布鲁姆按照认知的复杂程度，将思维过程具体划分为6个目标，由低到高包括记忆、理解、应用、分析、评价、创造.其中记忆、理解和应用称为低阶思维；分析、评价和创造被称为高阶思维.因此在要想促进学生深度学习，还应该让学生学会分析、评价与创造.

例如，在这一课教学中，先让学生用前期积累的学习经验快速抢答31×39、54×56、43×57、27×26这四个算式的答案，接着利用计算器来进行验证，发生矛盾冲突，为什么43×57、27×26就不适用了呢？教学中创建知识冲突，再次让学生运用“形”的直观性，厘清差异，经历高阶思维来促进学生对只有符合头同尾合十的算式的才有这一巧算规律的理解，提升学生思维.

【教学片段截取】

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”用数与形的关联，把抽象转化成具象，在直观图中找寻数的特征，把内在的数学知识展现出来，在多元表征中让学生建立模型.而且也让学生明白巧算规律的探索可以运用图形变换，用更形象、直观的表征方式突破难点，追溯巧算规律的根本，理解巧算算理的本质，顺藤摸瓜掌握巧算算法以达到灵活的应用.

2.3 对比归纳：借“形”理“数”，透析内涵

深度学习不是一蹴而就的活动，是持续的知识积累的过程.在教学中通过观察发现、提出猜想、推理验证、归纳总结等一系列的活动，能充分调动学生手、眼、脑等多种感官地积极参与，使得學生的思维更具有主动性和创造性.

例如，在这一课教学中让学生经历种种探索过程后，对比区别、归纳整理，借助几何直观，探索完整的巧算规律，揭示巧算规律的本质和内在的属性，一层层地深入，达到学生与知识的深度对话，从而建立模型，形成概念.

【教学片段截取】

重点讨论：那么怎么样的算式有这样的巧算规律呢？怎么样的算式没有？为什么呢？

归纳总结：“十位数字相同，个位上的数字相加等于十”这样的两位数乘两位数称为“头同尾合十”，它的巧算规律：头乘（头+1）的积作为积的前两位；两个乘数个位数相乘作为积的后两位.

事实证明，在这样的建模、破模再建模的过程中，让学生深刻理解头同尾合十算式的概念内涵，并借助几何直观，探索出计算头同尾合十算式的巧算规律，即乘积=［头×（头+1）］×100+尾×尾，使得学生对这一巧算规律并不是简单的机械记忆，而是有层次、有内在的理解.

3 反思——深度学习的多元教学评价

深度学习要求学习者在深层理解的基础上能够“融会贯通”并“活学活用”，在实践中应用所学知识，实现问题解决.有效且有层次地巩固练习评价有助于促进学生对知识点的理解和掌握，通过自我内化，能做一题、学一法、会一类、通一片，通过思维的升华，达到举一反三，一通百通.

学生经历这样的教学后，明白了遇“数”不惑，要把抽象的知识具体化、形象化；寻“形”而导，借图形掌握知识要领，真正促进学生的深度学习，培养学生的高阶思维，提升学生的数学素养.这也正是21世纪全球教育面向未来的重要话题——“如何学习”.