初中几何问题的解答探析

施烨

摘 要：初中几何问题的解答中，图形的旋转是十分常见的，通过图形的旋转，不仅能够使复杂图形旋转改变为易于理解的图形，而且还能使学生思考与解题的过程得到有效简化，从而使几何问题实现高效解答.

关键词：初中数学；几何问题；解答；图形的旋转

初中数学的新课标中明确提出：学生能通过实物的形象联想到几何图形，再从几何图形联想到实物形状，以实现几何体与其本身的展开图、三视图的有效转化；可以依据一定的条件画出相应的几何图形；从复杂图形当中分解得到基本图形，且分析出其涉及的基本元素与关系；可以描述出几何图形的具体变化及其运动轨迹；可以通过合适的方式呈现出物体之间存在的位置关系；可以通过图形更直观地说出几何问题，并加以直观思考.因此，初中数学的几何问题解答过程中，教师需注重图形的旋转相关技巧的讲解，以此使学生通过旋转几何图形，实现解题过程的简化，促进解题正确率与效率的提高.

1 图形的旋转及其价值概述

1.1 图形的旋转概述

图形的旋转通常包含了三个方面：

第一，旋转：主要指平面内，把图形按照某个定点顺着一个方向、相同角度进行转动，图形的这一运动过程就被称作为旋转.

第二，旋转三要素：主要指旋转的中心、旋转的角度以及旋转的方向.

第三，旋转的性质：旋转的过程中，会发生改变的通常是图形的具体位置，而不会改变的则是图形本身的大小、形状及其对应的线段与角度.

初中生在对几何问题进行解答时，通常无法对图形的旋转进行有效运用，鉴于此，数学教师就需立足于上述内容，引导学生灵活运用图形的旋转进行几何题解答，解题步骤为：（1） 找到被旋转的图形；（2） 找到旋转图形的具体旋转中心、角度、方向，有些只是注重位置，通过位置则能推测得到旋转的具体方向与角度；（3） 找到图形旋转之后得到的新图形，对于不完整的图形，则需对其实施补充；（4） 通过数学符号标志出相应的角与边等相关等量关系；（5） 与图形相结合，经过“综合法”“分析法”等，实现静态化的几何问题分析，以获得相应的结论.通过上述步骤，能更好地理解到上述的相关概念，且正确地理解到图形的旋转对于几何问题的解答的重要性［1］.

1.2 图形的旋转运用于几何题解答的价值

第一，有助于学生从不同角度认识到几何图形.立足于图形的旋转角度进行几何图形认识，通常能够使学生从多个方向学习与掌握图形具备的结构特征及其性质.除此之外，通过图形的旋转，还能使学生学会从变化的角度思考问题，从而使学生的多元化思维形成获得充足的空间.

第二，有助于学生探究几何图形具备的性质.几何问题的解答教学中，可引导学生把几何图形旋转的基础性质作为出发点，对于图形旋转形成初步认识，并将基础性质的变化当做深层次认识几何图形的方法.这种情况下，学生通过对图形性质的有效探索，既能深化对于图形旋转的理解，又能了解与掌握图形具备的性质.如，圆不仅属于轴对称图形，而且还属于特殊化中心对称的图形［2］.因为其对称性相对特殊，在具体教学时，就可以引导学生从轴对称旋转变化的方式对圆进行认识，并掌握到圆的性质.通过图形的旋转进行圆的有关内容讲解，既简便、直观，又能使学生将知识迁移至和圆有关的图形当中学习，从而使学生更好地解决相关几何问题.

第三，有助于学生形成相应的推理能力.就几何图形来说，其具备形象、直观的特征，学生经过亲自操作，立足于直观感知，探究得到图形具备的几何性质，以此使静止图形在学生的头脑当中真正旋转起来，从而使学生形成相应的推理能力，培养学生自身的图形观察、直觉、探索、操作等各项能力，这对学生解答几何问题有着显著意义［3］.如，在对等腰三角形具备的性质进行探究时，可引导学生通过等腰三角形的模具制作，将其两腰进行折叠与重合，以促使学生了解到等腰三角形属于轴对称图形，以此为前提，学生就能极其容易地了解到等腰三角形两个底角是相等的，这既能让学生得到相应的结论，又能促进学生自身的推理能力形成.

第四，有助于学生形成良好思维品质.初中数学的几何图形旋转主要是对图形处于变化、运动中的不变量以及不变性当中极其特殊的情况进行研究，常规几何的旋转主要是从变化、运动的角度对几何图形具备的性质进行探究，并通过图形的旋转，更形象且直观地解决相关几何问题，以此使学生形成灵活、敏捷的数学思维.

2 初中几何问题解答中图形旋转的运用策略

2.1 点的旋转

例1 平面直角坐标系当中，将原点当做对称中心，将A点（3，4）进行逆时针旋转90°，可得出B点，B点的坐标是（）.

A. （4，-3） B. （-4，3） C. （-3，4） D. （-3，-4）

解析：依據题意画出图1，构建相应的平面直角坐标系，依据旋转性质，就能证明△AOC≌△BOD，这就能得出OD=OC=3，BD=AC=4.所以，B点的坐标是（-4，3）.

评析：本题主要是对旋转具备的性质以及点的坐标等相关知识进行考查，对图形的旋转概念及其性质进行有效理解通常是得出三角形全等的重中之重，只有如此，才能更高效地求解出点B的坐标.

2.2 线段的旋转

例2 如图2所示，Rt△ABC的一条斜边AB围绕A点进行顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得出线段AE，将直角边围绕A点进行逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得出线段AF，将EF两个点进行连接.如果AB=3，AC=2，且存有α+β=∠B，可得到EF=______.

解析：依据旋转具备的性质，能够得出AE=AB=3，AC=AF=2，又由于∠B+∠BAC=90°，且条件给出α+β=∠B，由此可以得出∠BAC+α+β=90°，推导可得∠EAF=90°，在Rt△AEF当中，通过三角形的勾股定理能够得到EF=√（AE2+AF2）= √13.

评析：本题主要就是对“对应点至旋转中心之间的距离是相等的”的旋转性质以及三角形的“勾股定理”相关内容进行考查，通过对图形旋转具备的性质进行灵活运用，则能实现本题的有效解答［4］.

2.3 角的旋转

例3 如图3所示，已知∠AOB=60°，OM为∠AOB的平分线，在OM上存有一点C，把角度为120°的角顶点与C点进行重合，其两条边分别和直线OA、OB相交于D、E两点.

（1） 将∠DCE围绕C点旋转至CD垂直于OA的时候，详见图3，请猜想得到OE+OD和线段OC存在的数量关系，并表述出具体理由；

（2） 将∠DCE围绕C点旋转至CD不垂直于OA的时候，详见图4，此时，（1）中的结论成立与否？请表述出具体理由；

（3） 将∠DCE围绕C点旋转至CD与OA反向延长线相交的时候，（1）（2）中的结论成立与否？请于图5中画出相应的图形，如果成立，请给出证明；如果不成立，则明确线段OD、OE和OC存有的数量关系，写出猜想即可.

解析：（1） 依据题意∠AOB=60°，可知∠OCE=60°，通过三角函数中的特殊角，可以得到OD=（√3/2）OC，依据同理得到了OE=（√3/2）OC，由此可以得到OE+OD和线段OC存在的数量关系为OE+OD=（√3）OC.

（2） 依据图4可知，经过点C作出CF⊥OA相交于F点，CG⊥OB相交于G点，依据（1）中的方法进行证明，可得出OF+OG=（√3）OC.

通过“ASA”可证明得到△CFD≌△CGE，推导可知DF=EG.此时，可以得出OE+OD=3OC，所以，（1） 中得到的结论仍旧成立.

（3） 依据图5可画出图6，并得出（1）中的结论是不成立的，其结论是OE-OD=3OC.首先，过C点作出CF⊥OA相交于F点，CG⊥OB相交于G点，依据（1）证明的方法，可以得到OF+OG=3OC，通过“ASA”可证明得到△CFD≌△CGE，推导可知DF=EG.由此可推导得到OE-OD=OF+OG=3OC.

评析：本题主要就是对旋转具备的性质、角平分线的定义与定理、全等三角形具备的性质及其判断、三角函数的特殊角等相关内容实施考查，做出正确辅助线成为本题解答的重中之重［5］.

2.4 四边形的旋转

例4 如图7所示，菱形ABCD的顶点A与D位于直线l上，∠BAD=60°，将A点当做旋转的中心，把整个菱形进行顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜30°），由此可得出菱形AB′C′D′，B′C′与对角线AC相交在M点上，C′D′与直线l相交在N点上，将MN连接起来.

（1） MN∥B′D′的时候，求取角α为多少？

（2） 如图8所示，对角线B′D′和线段AC相交于H点，与直线L相交于G点，将C′B′延长与AB相交于E点，将E、H两点进行连接，当△HEB′的周长是2的时候，求解出菱形ABCD的周长是多少？

解析：（1） 依据旋转的性质可知，∠BAB′=∠DAD′，依据菱形具备的性质与∠BAD=60°，MN∥B′D′，依据“SAS”则能证明出△AB′M≌△AD′N，因此，∠B′AM=∠D′AN=∠BAB′=15°，即角α为15°.

（2） 依据旋转以及菱形具备的性质，可以得到∠BAB′=∠DND′，AB′=AD′，∠AB′E=∠AD′G，通过“SAS”则能证明出△AEB′≌△AGD′，由此可得：EB′=GD′，AE=AG，再通过“SAS”可证明得到△AHE≌△AHG，由此可知EH=GH，即B′D′=2，最终可得到菱形ABCD的周长是8.

评析：本题主要就是对旋转具备的性质、菱形具备的性质、等边三角形的具体判定及其具备的性质等各方面知识进行考查，通过动静结合的解题思想，找出全等三角形，以此得到菱形的一边长度，从而得到本题的有效解答［6］.

2.5 三角形的旋转

例5 Rt△ABC当中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，把△ABC围绕着C点进行顺时针旋转，其旋转角度是α，旋转后得出的三角形为△DEC，A、B点对应着的点为D、E.

（1） 图9中，E点处于AC上的时候，求取∠ADE的度数为多少；

（2） 如果旋转的角度α为60°，F点为AC边的中点，如图10中，请证明四边形BEDF为平行四边形.

解析：（1） 依据旋转具备的性质，可以得出△DEC≌△ABC，由此可得到：CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，以及∠CAD=∠CDA=75°，又由于∠ABC=∠DEC=90°，经过推导能够得到∠ADE=15°.

（2） 依据∠ABC=90°，∠ACB=30°，且F点为线段AC的中点，此时可以得到AB=BF=AF=FC，再加上△DEC是△ABC围绕着C点进行α顺时针旋转所得到的，由此可得：∠BCE=∠ACD=60°，且CB=CE，DE=AB，推导得知ED=BF，又△CFD≌△ABC，DF=BC=EB，据此可证明BEDF为平行四边形.

评析：本题主要是对旋转具备的性质、直角三角形具备的性质、全等三角形具备的性质以及判定平行四边形等有关知识进行考查，本题解答的关键就是旋转的性质理解与掌握.

3 结束语

综上所述，通过图形的旋转进行几何问题解答，主要就是按照题设，做出相应的旋转，并与特殊图形以及几何定理有效结合，获得相应的答案.图形的旋转属于几何问题有效解答中十分新颖的方法，有着显著的特殊性与规律性，因此，数学教师在具体教学时，需注重引导学生关注图形旋转的相关思想与内容，并渗透适合的知识点，以实现数学学习脉络的有效构建，并引导学生通过自主探究掌握图形旋转的解题技巧与方法，这不仅可以使学生充分掌握相关数学知识，而且还能促进学生自身的思维能力，从而使学生形成相应的探究精神.

参考文献：

［1］ 苏婷.基于几何直观能力发展的数学深度学习研究——以“图形的旋转”为例［J］.安徽教育科研，2018（14）：120122.

［2］ 吴淑玲.关注变换方法，解题应用探究——以三大图形变换法为例［J］.数学教学通讯， 2021（35）：7475.

［3］ 凌洁.把握过程，应用特性，突破旋转——以中考几何旋转题的探究为例［J］.数学教学通讯，2019（5）：7879+88.

［4］ 李永树.巧用旋转思想 妙解几何问题［J］.科学咨询，2017（2）：6869.

［5］ 杨海莲.旋转之魅力——探尋初中数学中图形变化的奥妙［J］.初中生辅导，2021（36）：4655.

［6］ 薛琼.感知旋转方法，感悟模型应用——对几何旋转法及模型的探究与思考［J］.数学教学通讯，2019（14）：8688.