高中数学古典概型解题思路探析

李锐堂

摘 要：古典概型是概率学习的基础，也是学习的重难点.古典概型问题虽然计算公式简单，但涉及到的具体问题却非常复杂、多变，致使学生在解题的时候，很难找到一种确切的方法，这加大了学生的解题难度.鉴于此，本文以古典概型典型例题——“摸球问题”作为切入点，对其具体的解题思路进行了详细的研究和分析.

关键词：古典概型；概率；高中数学；摸球问题；解题思路

概率是高中数学中最为重要的组成部分，通过这一部分知识学习，可促使学生意识到数学概率是对现实生活中的随机事件进行研究，且概率在学习、生活、生产和科技领域中都具备广泛用途.因此，全面学好概率知识，利用相关的解题方法解决概率问题，历来是教学的重难点.在解决概率问题时，由于其产生条件和背景有所不同，也没有固定的法则，这就在很大程度上增加了概率问题的解决难度.尤其是针对古典概型问题，鉴于事件的不确定性，学生常常难以运用确定性的数学思维、数学方法进行解决.面对这一现状，教师在日常教学中，应结合不同类型的题目，帮助学生找到正确的解题思路和技巧，使得学生在日常解题训练中，逐渐提升自身的概率问题解决能力.

1 高中数学古典概型问题概述

古典概型在高中概率中占据十分重要的位置，看似非常简单，许多概念非常直观并且容易理解.同时，古典概型问题又涉及到实际生活中很多问题，应用十分广泛.如：股市涨跌、发生某类事故、抓阄、摸球等.具体来说，与一般的概率问题相比，古典概型问题中主要包括两个特点，即：只有有限个可能的结果、各个结果发生的可能性相同.在高中数学概率问题研究中，具备以上两个特点的概率问题就属于古典概型问题［1］.

2 基于“摸球问题”的古典概型问题的解题思路

针对数学古典概型问题来说，概念和计算公式相对比较简单，在具体解题的时候，由于事件不够确定，学生难以借助正确的解题思路进行解答.鉴于此，结合古典概型中最为常见的“摸球问题”，对这一类题目的解题思路进行了分析.

例1 （取球问题）袋子中有5个白球，3个黑球，分别按照下列的三种方法，在袋子中取球：

第一种：有放回地取球：从袋子中取三次球，每次只取一个，看后放回袋子中，再取下一个球；

第二种：无放回地取球：从袋子中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋子中，再取下一个球；

第三种：一次取球：从袋子中任取三个球.

在以上的三种取法中，均求A={恰好取得2个白球}的概率.

3 古典概型问题的其他解题思路

在古典概型问题解决中，摸球问题属于一项重要的解题模型，在实际解题中存在极强的应用价值.除此之外，在日常解题中，还可充分借助“穷举法”“归纳法”等进行解答.

3.1 穷举法

穷举法是解决概率问题所用方法中最为常见的一种方法，尤其是针对一些比较简单的古典概型题目，基本事件发生的数目比较少，属于有限的情况，且每一个事件出现的概率也相等.面对这一类型的题目，“穷举法”无疑是最佳的选择.

例3 将一枚质地均匀的硬币投掷三次，计算出三次投掷都为正面的概率.

解析：这是一道非常简单、常见的古典概型题目，基本事件发生的数目是有限的，且每一个基本事件出现的概率也相等.在这种情况下，就可借助“穷举法”进行解答.根据题意得知，投掷一次出现正面或者反面的概率相等，均为0.5，因此，如果将连续投掷三次出现正面的情况计为“1”，将投掷出现反面的情况计为“0”，那么就可以借助“穷举法”，将投掷三次可能出现的情况列举出来，即：1，1，1；1，1，0；1，0，0；1，0，1；0，1，1；0，1，0；0，0，1；0，0，0.基于此，就可轻松得出答案，即：1/8［3］.

3.2 归纳法

在解决古典概型问题时，归纳法也是非常重要的一种方法，可基于样本空间中的基本事件出现的概率进行归纳，主要是针对一些比较复杂的问题.

例4 在一副没有大小王的扑克牌中，计算连续抽三次牌，抽到三张A的概率.

解析：这一题目也是一道非常常见的古典概型题目，但与上述题目不同，本题目中涉及到的样本空间相对比较大，如果運用穷举法进行解答就会变得非常繁琐，浪费大量的时间，甚至产生错误.面对这一现状，就可引导学生借助“组合分析法”进行求解.“组合分析法”是解答复杂古典概型问题的主要方式，主要是将各种可能性做组织进行分析和解答.在这一题目中就将四种花色的牌进行整理，并将每次抽到A的概率进行总结：第一次抽样，样本空间为52张扑克牌，其中有四张A，因此第一次抽到A的概率为1/13.如果第一次抽到了A，则样本空间变为51张扑克牌，其中有三种A，因此第二次抽到A的概率为1/17；如果前两次均抽到了A，则样本空间减少为50张，其中还有两张A，因此，第三次抽到A的概率的为1/25.据此，可求得题目中“三次抽到A”的概率为三次概率的积，最终得出答案1/5525［4］.

3.3 实验法

在高中古典概型相关问题的解答中，如果每一个基本事件的发生概率都相等，样本的空间没有发生改变，并且开展的实验次数越多，个体基本事件的发生概率就随之更加接近，那么，在对这一类问题进行解答的时候，就可以借助实验法，指导学生通过多次实验进行计算.

例5 投掷骰子一次，计算出现1点的概率.

解析：这就是一道非常典型的可利用实验法解决的题目.在该题目中，每一个基本事件的发生概率都相等，样本的空间没有发生变化，并且试验的次数越多，“出现一点”这一事件出现的概率就越为接近.对这一题目来说，虽然能够简单地明确答案为1/6，但在具体解答的时候，依然可运用实验法，以6个学生为一个学习小组，每一个人掷骰子12次，对本组内所有学生掷骰子出现1点的概率进行汇总、计算.如此，学生在多次实验中所得出的“出现1点”事件的发生率就明显接近于正确答案［5］.

3.4 枚举法

枚举思想是一种非常重要的数学思想，将其应用到日常解题中可以提升学生的解题效率.在高中古典概型问题的解答中，就可结合实际情况，科学融入枚举思想，帮助学生顺利得出正确的答案.同时，还可以帮助学生在具体的解题训练中，逐渐建立起完整的数学知识体系.

例6 投掷一个骰子，对其朝上的点数进行观察.试着求出下列事件出现的概率：（1） 点数为3的概率.（2） 点数为偶数的事件概率.（3） 点数在3到6之间的事件概率.

解析：在这一类古典概型问题的解答中，由于骰子具备六个面，在投掷的过程中，每一种事件可能发生的概率都相同.因此，在这些简单的随机事件出现概率的解答中，就可融入枚举法.因此，出现点数为3的概率是1/6；出现点数为偶数的事件主要包括三种可能，即2、4、6，因此该事件发生的概率为3/6，即1/2；出现点数在3到6之间主要包括两种可能，即4、5，因此，该事件发生的概率为2/6，即1/3.由此可见，枚举法的融入显著提升了学生的解题效率［6］.

3.5 模型法

在高中古典概型问题中，也常常出现一些比较复杂的问题，这些问题常常以实际生活作为背景.在对这一类型问题进行解决的时候，就可基于数学模型思想，从生活化的问题中抽象出数学问题，并建立与其相关的数学模型.如此，通过数学模型思想的应用，就可将原本不熟悉、复杂的数学问题进行转化，使其成为学生熟悉的知识，以便于学生利用已有的知识快速完成其解答.

例7 A箱子中有两种球，其中，红球x个，蓝球y个；B箱子中也有两种球，其中，红球y个，蓝球x个.现在从A、B两个箱子中，各随机抽取一个球，试着将两球同色、异色的概率计算出来.

4 结束语

综上所述，古典概型问题在考试中、生活中尤为常见，对各种概率计算公式进行了有效的考查，同时也极大地锻炼了学生的思维.鉴于当前学生在古典概型问题解答中面临的困难，必须要指导学生善于具体问题具体分析，针对不同的题目，找到最佳的解题切入点，选择针对性的解题思路和方法，进而达到顺利解题的目的.

参考文献：

［1］ 周乐一.“摸球获奖”中的概率应用［J］.高中數理化，2019（1）：2021.

［2］ 杨祺帆.高中数学概率题解题技巧及错误总结［J］.新教育时代电子杂志（学生版），2018（40）：193.

［3］ 谭永长.高中数学概率解题研究［J］.当代教育实践与教学研究（电子刊），2018（2）：879.

［4］ 许延芳.高中数学概率方法的解题思路与技巧浅析［J］.中学生数理化（学习研究），2020（12）：36.

［5］ 曹彩霞.解析数学建模在高中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2020（28）：3738.

［6］ 仓琳.高中数学古典概型问题分析解答的教学策略［J］.中学生数理化（教与学），2020（4）：93.

［7］ 周玉梅.高中数学必修三古典概型的几种解题技巧［J］.新课程（下），2019（5）：66.