直观想象素养导向的立体几何教学研究

李静依

摘 要：《普通高中数学课程标准（2017版）》提出要发展学生的数学核心素养，但在课堂教学中如何培养核心素养仍是一大难题.本研究以新教材立体几何证明的开篇课“直线与平面平行”为例，通过借助几何直观帮助学生认识引入判定定理的必要性，构建几何直观模型发现和论证判定定理与性质定理，尝试将内隐的直观想象核心素养外显化到具体的教学环节中，借助几何直观使抽象问题形象化，构建数学问题的直观模型使复杂问题简单化，从而落实直观想象素养的培养.

关键词：直观想象；线面平行；内隐素养外显化

《普通高中数学课程标准（2017版）》（下称《高中数学新课标》）提出要在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养［1］.课堂教学是落实核心素养的主要阵地，但在实际教学中，教师如何落实培养学生数学核心素养的教学目标？

《高中数学新课标》强调：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础［1］.立体几何是提升直观想象素养的重要载体，“直线与平面平行”是高中立体几何证明学习的开篇课，对后续建立线线、线面、面面平行与垂直的知识体系，培养直观想象素养具有示范引领作用.因此研究首先明确直观想象素养的内涵，以“直线与平面平行”为例，尝试将内隐的直观想象素养外显化到教学活动中，进一步落实培养学生核心素养的教学目标，为后续立体几何教学提供参考.

1 “直观想象”素养的内涵

《高中数学新课标》将直观想象素养的内涵概括为：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.其外延包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路［1］.

学者们在研究中也提出了对直观想象能力内涵的理解：徐德同和钱云祥认为直观想象是依托、利用图形进行数学的思考和想象，本質上是一种基于图形展开想象的思维能力［2］.胡凤娟等认为“直观想象”是运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质［3］.朱立明认为直观想象即借助几何直观来生动形象地描述和分析数学问题，实现抽象思维与形象思维之间的转换；空间想象则是掌握描述空间图形的符号语言，空间图形与直观图形之间的相互转化，能够对空间几何体进行分解与组合，并分析新几何体的数量和位置关系［4］.

通过文献梳理，学者们对直观想象的内涵基本上都引用了教育部髙中新课标给出的界定.因此，本文将直观想象能力的概念界定为：借助几何直观和空间想象理解和解决数学问题的能力.几何直观借助直观化的图形，将复杂问题简单化；空间想象则对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象及思考和构造创新，包括认识事物的构成要素、结构特征、位置关系、形态变化和运动规律等.

2 “直线与平面平行”教学设计

新教材对“空间直线、平面的平行”的内容编排进行了调整，以往2003版是将线面平行的判定和性质分开，在单元教学中先完成线面平行、面面平行的判定再转向性质的探究，而新教材则将两课时合并，在研究线面平行的判定后转向性质的研究，更注重思维的连续性.本节课的教学目标之一是发现并论证线面平行的判定定理和性质定理，需要解决三个关键点：一是线面平行判定定理引入的必要性；二是如何引导学生发现并论证线面平行的判定定理；三是在学习判定定理后如何自然过渡到性质定理的发现和论证.

根据直观想象素养的内涵，建立数与形的联系、借助几何直观使抽象问题形象化、构建直观模型使复杂问题简单化是落实直观想象素养的几个关键环节，本文借助几何直观帮助学生认识学习判定定理的必要性，构建几何直观模型发现和论证判定定理和性质定理，从而解决三个关键问题并落实直观想象素养的培养.

2.1 借助几何直观形成认知冲突，明确学习判定定理的必要性

在教学导入时，引导学生回顾直线与平面的位置关系及判定方法，为了明确学习判定定理的必要性，提出以下问题.

核心问题1：“线在面内和线与面相交从直观上易判断直线与平面的公共点个数，如何判断线面平行呢？”在得到学生用线与平面没有公共点的方法判断线面平行时，追问：“图1中直线a与平面α平行吗？直线是无限延伸的，平面也是无限延展的，用直线与平面没有公共点来判断线面平行是否方便？”

将图1设置成动画，展示直线无限延伸、平面无限延展的运动过程，启发学生用定义去判定线面平行存在困难，需要引进一个更易于操作的方法来判断线面平行，明确学习判定定理的必要性.

【设计意图】在导入环节中，回顾直线和平面的三种位置关系及判断依据，结合图形发现通过公共点个数判断线在面内、线面相交较为容易，但构建的“直线无限延伸、平面无限延展”几何直观与学生已有的判断线面平行的方法形成认知冲突，明确学习判定定理的必要性.

2.2 从实例中抽象出几何直观模型，发现判定定理的关键要素

线面平行判定定理的证明难度不大，关键在于如何明确判定定理的关键要素，以往教师在授课时大多数是让学生观察实例，从而得出判定定理及证明，但定理条件的发现较为突兀，本文则通过构建几何直观模型，通过“直观感知—操作确认—推理论证—思辨分析”，小步子引导学生发现判定定理.

2.2.1 直观感知

结合教材中“观察门和书本转动”判断线面平行位置关系的具体实例，引导学生初步感知直线与平面平行的模型，将感性认识转化为理性思考.

2.2.2 操作确认

核心问题2：我们观察到上述两个例子，直线和平面是平行的，那是什么因素让我们有这样的感受呢？借助直角梯形纸板做个小实验：

（1） 将直角梯形的下底边BC紧靠桌面，并绕BC转动，观察上底边AD所在直线与桌面所在平面的位置关系.

（2） 将直角梯形的直角腰AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察斜腰CD所在直线与桌面所在平面的位置关系.

学生易观察出第一个实验中直线AD和平面平行，第二个实验直线CD和平面不平行.

追问：上述演示的直线与平面的位置关系为何不同？关键是什么要素在起作用？

学生易发现，两个实验结果不同的原因在于第一个实验中直线AD和BC平行，第二个实验直线CD和AB不平行.从而确定判定直线与平面平行关键在三个要素：① 平面外一条线；② 平面内一条直线；③ 这两条直线平行，进一步得出线面平行的判定定理：aα，bα且a∥ba∥α.

2.2.3 推理论证

猜想 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

2.2.4 思辨分析

核心问题3：能否从定义的角度对判定定理进行辨析？

因为a∥b，所以两条直线没有公共点；在平面α内平移b，得到直线c，根据平行公理可得a∥c.前面我们已经学习过推理3：经过两条平行直线有且只有一个平面.无数条与a平行的直线“铺满”平面α，则平面α内的任一点均在直线a的某条平行线上，于是直线a与平面α没有公共点，即a∥α.

【设计意图】通过“直观感知—操作确认—推理论证—思辨分析”的认识方法，让学生经历线面平行判定定理的发现过程，将空间问题转化为平面问题，进一步渗透化归与转化的数学思想.其中在判定定理的发现过程中，除了对生活实例进行抽象，还设计了“梯形实验”，抽象出几何直观模型引导学生发现判断线面平行的关键要素，培养学生借助直观模型和空间想象分析、解决问题的意识.

2.3 引入线、面构建几何直观模型，发现并论证性质定理

新教材将“线面平行判定定理和性质定理”进行合并，在研究线面平行的判定后转向性质的研究，更注重思维的连续性，在教学中如何建立性质定理与判定定理的紧密联系？本文将在原有模型中引入线、面，构建新的几何直观模型，从而引导学生发现并论证线面平行的性质定理.

核心问题4：已知a∥α，直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系？由定义易发现平面α内的直线与直线a平行或异面.追问：那么在什么条件下，平面α内的直线与直线a平行呢？

追问：在上述模型中，我们引入的是过直线a的平面β，从而发现了线面平行的性质定理，是否可以加入其他的直线或平面，它们与已知的直线、平面会有怎样的位置关系？

如图6，在原有线面平行模型的基础上，引入与直线a平行的平面β，且平面β与平面α相交，那么直线a与两个平面的交线b平行.如图7，在平面α外引入与直线a平行的直线b，那么直线b也与平面α平行.

【设计意图】从寻找线面平行的必要条件出发，通过猜想能否从线面平行推出线线平行，将平面问题转化为空间问题，再一次渗透化归与转化的数学思想.性质定理的发现是在原有线面平行的模型中，引入过直线a且与平面α相交的平面β，进一步引导学生思考能否从已有的位置关系出发，加入同类元素（线、面）组成新的直观模型，发现模型中的一些确定关系.

3 教学思考

3.1 教学设计的思路

为了解决前文提到的三个关键问题，教学设计结合新教材做了如下处理：① 在课程导入时动态展示直线无限延伸，平面無线延展，发现用定义判断线面平行不易操作，明确学习线面平行判定定理的必要性，从而解决关键问题一.② 在判定定理的发现过程中，除了引用教材中让学生观察门和书本转动的具体实例，还构建了“直角梯形”直观模型，抽象出几何直观模型引导学生进一步发现线面平行的三个关键要素；在判定定理的论证过程中，采用反证法和思辨论证分析相结合.根据平行线的传递性，直线平行于平面无数条直线，由“线动成面”得出直线与平面没有交点，从而证明线面平行，此过程学生可以接受，但根据学生已有的认知，由直线判断直线是否平行于平面，大部分学生的认知起点是会从直线与平面没有交点的角度来论证，因此本教学设计在思辨分析的前面增加了反证法，即先通过交点个数论证，再结合“线动成面”回归定义进一步解释，比较符合学生的认知规律，从而解决关键问题二.③ 对于性质定理的发现与论证，则通过逻辑推理引导学生探究在线面平行条件下线线的位置关系（异面或平行），再过渡到线线平行这种特殊的位置关系.在论证过程中，通过在原有线面平行的模型中，加入同类元素（线、面）组成新的模型，借助几何直观发现并论证线面平行的性质定理，逻辑清晰容易理解，从而解决关键问题三［5］.教学结合数学问题串的设计，抛出关键问题，教学过程层层递进、环环相扣，符合学生原有的认知基础和基本认知规律.

3.2 教学中渗透直观想象素养

本节课的另一教学目标是在教学过程中发展学生的直观想象核心素养，在本节课的教学中，从课程导入（借助线面位置关系几何直观分析问题）——判定定理的发现及论证（借助梯形实验抽象出线面平行的直观模型，明确判定定理的关键要素）——性质定理的发现及论证（引入不同的线、面构建不同的直观模型），将内隐的直观想象素养外显化到具体的教学环节中，借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物、构建几何直观模型探索问题等，较好地培养学生直观想象这一核心素养.

数学核心素养目标的落实是一线教师的难题，核心素养不能停留在内隐层面，不能只是空洞的理念，而应当积极走向外显，用显性的行为实践隐性的意图［6］.本设计在确立素养目标后将其分解到一个个具体的教学环节中，教师必须对课标进行深入的分析，结合具体的教学内容明确本单元、本课时的核心素养目标，将具体目标和教学内容相结合，把核心的理念转化为外显的数学问题与数学活动，让学生亲身经历数学核心素养的发展过程，从而隐性地发展核心素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 徐德同，钱云祥.基于质量监测的初中学生直观想象发展状况的调查研究［J］.数学教育学报，2017，26（1）：2224.

［3］ 胡凤娟，保继光，任子朝，陈昂.高中数学核心素养测评案例研究［J］.中国考试，2017（11）：1016.

［4］ 朱立明，胡洪强，马云鹏.数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例［J］.数学教育学报，2018，27（1）：4246.

［5］ 韩丽英.立足学法建构 提升核心素养——以“直线与平面平行的判定及其性质”教学活动设计为例［J］.中学数学教学参考，2021（25）：3337.