让直观想象根植在数学课堂教学中

罗宇军

【摘要】本文结合直观想象的相关理论，以“平面”第一课时为例，阐述在高中数学的教学设计中如何渗透核心素养，旨在通过具体案例，论述如何在教学中渗透“直观想象”素养的培养，为构建以提升学生数学核心素养为主旨的教学模式抛砖引玉.

【关键词】核心素养；直观想象；平面

一、关于直观想象

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.通过直观想象核心素养的培养，学生能够养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建立良好的数学直觉，理解事物本质和发展规律.

二、课堂教学的情境引入

世界500强面试题：公主到了出嫁的年龄，国王想找一个聪明人做自己的女婿.于是就在王宫门口贴出了一张告示，上面说：如果有人能够种四棵树，使得其中任意两棵树之间的距离相等，就将公主嫁给他.

多数学生会在平面内思考而受阻，教师适时点拨，呈现如右图所示的三棱锥.

适时引入：尽管我们初中学过平面几何，但如果只局限在平面上，很多问题是解决不了的，这就是我们即将学习的一门新课程——立体几何.

评析：通过问题的提出，很快把学生引入课堂上来，由于学生知识的局限性，学生对于这个问题一时反应不过来，多数学生都设法在一个平面内思考问题而无法获得突破，从而形成学生认知上的冲突，激发学生的研究兴趣，充分调动了学生学习的积极性，同时应注意学生的反应，把学生的思维从平面引向空间，为学习立体几何知识做好心理准备.

三、讲解新课

（一）平面的特点

思考1：请同学们利用类比学习的方法，由直线的特点，类比出平面的特点，直线的特点是：直，可向两端无限延伸、无粗细之分；而平面的特点是：平，可向四周无限延展、无厚薄之分.

思考2：生活中的面以及常见的平面图形与几何中的平面是相同的吗？

引导学生发现：区别是可度量与不可度量；联系是平面图形可以表示平面的一部分.

评析：由于学生对于直线知识很了解，而对于平面知识知道得不多，因此，抓住直线与平面之间的关联学习平面正可谓是“恰到好处”.由于在后面的学习中要做出平面图形，为避免学生把二者混为一谈，有必要对二者加以区分，为下面的学习铺平道路.

（二）平面的画法

引导：大家还记得直线是怎样画的吗？学生讨论后出示如下画面：

评析：由于直线的画法学生非常熟悉，因此类比直线的画法研究平面的画法就使学生很容易理解.

思考3：把平面图形放在空间中，它的位置可以是水平放置，也可以是竖直放置，不同的放置方法，它的画法一样吗？在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面，出示教具，学生由观察容易得出：当平面竖直放置时，一般画成矩形.

提问：当平面水平放置时，应画成什么形状呢？（由学生讨论）然后通过几何画板课件引导学生观察.

评析：由于几何中的平面与现实中的平面的较大的不同，而在几何的学习中又需要做出平面进行研究，因此，为了作图上的方便，作图时可以用平面图形来表示平面，这一解释为我们后面的学习进行了铺垫.由于课件动态显示了平面图形的不同位置，学生很容易观察到：平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长时最像.

结论：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长.

评析：竖直放置的平面，学生通过观察很容易画出，而水平放置的平面的直观图学生则不容易做出，因此，授课者在此利用几何画板的动态效果给学生展示竖直放置平面图形水平放置的过程中变化的视觉效果，学生通过观察归纳出水平放置的平面图形的画法，这一点非常经典.

（三）平面的表示方法

1.点的表示：大写的英文字母A，B，C；

2.线的表示：小写的英文字母a，b，c，d或AB，CD.

评析：由于点用大写英文字母表示，而线可由两点确定，学生就不难理解直线可用两个大写英文字母表示，由此类比，平面可表示为多边形，学生就很自然地想到平面可用多个大写英文字母表示.另一方面，点可以用大写英文字母表示，学生就不难理解直线可用小写英文字母表示，由此类比，平面可表示为多边形，学生就很自然地想到平面可用字母α，β，γ，…来表示.

练习：观察（1）（2）（3）三个图形模型说明它们的位置关系有什么不同：

学生讨论后教师用实物教具帮助学生理解.通过几个简单的直观图的对比，初步建立学生的“空间感”！

练习：下图中的平面中有无不正确的地方？应如何纠正？

提问学生回答：

教师归纳总结：

画空间图形应注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画.

评析：对于刚刚学习立体几何的学生来说，作图便是他们最早面临的第一道“门槛”，如何有效地控制学生在作图过程中出现错误，事先预防总比事后纠正要好得多，课后测试表明：98%的学生不会出现类似错误.

探究：两个相交平面的画法.

教师出示两个相交平面的实物教具（如图）.

画两个相交平面的步骤：

1.画出边线AB，CD；

2.找交点M，作线段MN（两个平面的交线）；

3.过A，B，C，D作MN的平行线段；

4.完成两个平行四边形；

5.看不到的线用虚线或擦去.

评析：利用课件立刻做出图形，凸现实际的思考过程，并利用画板的动态拖拉技术，让学生观察，视觉化降低学生思考的外在负荷，使学生很容易理解整个图形实际上是由AB，CD按一定方向拉伸得到，由此，学生就不难理解为什么先画出边线AB，CD了.

四、小结与反思

在课堂教学过程中，教师在实践课堂教学之前应该做到以下几点：

1.教师对本节教学包含的数学原理和规律要有深刻的理解；

2.教师备课这一环节很重要，备学生就是认识学生，就是要根据学生现有的知识水平和可能达到的能力设计好相关的问题，注意层次，使学生始终处于思维激活状态；

3.科學高效是课堂教学的最终目标，教学过程中应该注意在呈现知识的方法方式上力求因学生而变，选择恰当的案例，科学提取案例所包含的原理和规律，另外还要关注学生的最近发展区，科学选择恰当的辅助方法，以最适合学生理解的数学语言，达到科学高效的教学.