充分发挥“直观想象”让解题更具韵味

张圣官

“直观想象”指的是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.

在数学解题中充分发挥直观想象，可以让解题过程具体、生动、形象，更具韵味.

一、利用图形变换，让解题过程更形象

英国心理学家查得·斯根普认为，几何图形是一种视觉符号，与表象的形成密切相关.因此，图形以及图形的加工、变换能力在培养与发展空间想象能力的过程中起了关键作用.图形的变换一般有三种类型：（1）图形的运动与变式；（2）图形的分解与组合；（3）平面图形与空间图形的对比、类比与转换。

例1 如图1，在四面体S-ABC中，∠SAB=∠SCB=∠ABC，∠SBC=∠SAC=∠ACB，∠SBA=∠SCA=∠BAC，求证：SA=BC，SB=AC，SC=AB.

解析

本题用常规方法非常困难.现将四面体S-ABC沿SA，SB，SC剪开后铺到平面ABC上得△S1S2S3（如图2）.由条件知，∠S2AB=∠ABC=∠BCS3，从而S2A∥BC，S3C∥AB.同理，S1A∥BC.这样就有Sl，A，S2共线且A为S1S2的中点，同样可得B，C分别为S2S3，S3Sl的中点.所以结论成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB.

例2 给出两块相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等.

（1）請设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图中，并作简要说明；

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小.

二、利用以形助数，让解题过程更丰富

数学是研究客观世界空间形式和数量关系的一门科学.有些数学问题，在代数范畴内也可以解决.但是如果加入几何因素，将“数”与“形”有机结合起来，往往能够使解法更多样，让解题过程更丰富.华罗庚教授对此很准确地进行了论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”