条分缕析——建模解应用题的思维特征

陈晓燕

如何解应用题呢？首先，把实际问题数学化，也就是用数学语言加以抽象与概括，即数学地审题；其次，从数学角度刻画或反映实际问题，得出实际问题的数学描述，即建立数学模型；再次，通过推理、演算在数学模型中解决问题，并还原或说明数学结果所反映的实际问题，即“解”与“答”.解题步骤的流程图如下：

其中，“建立数学模型”是解应用题的关键，很多同学往往审题不清，无法进入分析问题、解决问题的环节，这就需要我们把握数学应用题的解题特点，养成“条分缕析”的思维习惯，充满信心地建构相应的数学模型.本文以两道高考模拟试题为例，为同学们剖析数学应用题的思维要求.

1.分级概括、去粗存精——简化问题背景

数学应用题源于生活，问题的背景包含很多生活化的信息，建模需要的量与量的相等和不等关系，量的约束条件等均蕴含在其中，这就需要我们学会阅读、分析和理解，学会将文字语言叙述转译成数学符号语言.我们可以将问题中的信息分为三个层级，浅层：可以忽略的铺垫介绍；表层：能够理解的基本关系；深层：反映本质的关键信息.浅层信息可以简去，表层信息直接转换成数学语言和符号，深层信息需要仔细推敲、重点突破.

问题1中的“如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4m，最低点B离地面2m”，“A离地面4m”、“B离地面2m”是表层信息，需要直接标注在图上，其他的均是浅层信息直接忽略.问题2中的“某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为Im的网形”，只有“圆的半径为1 m”是表层信息，需要直接标注在图上，其他的均为浅层信息直接忽略.而问题1中的“观察者离墙多远时，视角θ最大”，问题2中的“四根木条将网分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形”是深层信息，是问题的突破口以及解题的关键所在，需要认真思考和推敲，准确地用数学语言进行转化，

“分级概括”不仅去粗存精、用简洁的数学语言表征信息，而且简化了问题的背景、突出问题解决的重点.很多同学在审题时，由于没有掌握这种方法，往往身陷冗长的文字而无法自拔，进而失去解决问题的信心.

2.逐层抽象、重点突破——加工关键信息

应用题中的深层信息是建模的关键，基于不同的特征，我们要学会相应的抽象方法.问题1中的信息“观察者离墙多远时，视角θ最大”是一种典型的最优化问题的表征.虽然从字面上理解是求“离墙多远”，即“求x”，事实上需要关注对象却是“视角θ”.对于最优化问题，我们常用的方法是“将需要最优的量作为目标，建立目标函数”.这里要将“视角0”的某一个函数值（正弦、余弦或正切）作为因变量，“x”作为自变量，建立等量关系（解析式），并给出“x”的相应范围（定义域）.这样处理后，问题转化为：“结合图形特征，如何求视角θ？”这是个表层的问题了，问题2中的深层信息“若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值”.也是最优化问题，处理方法类似.

3.合理比析、设计模型——解决实际问题

在概括、抽象的基础上，我们可以着手设计数学模型，进行建模.但是，思考问题的视角不同，所选择的模型也不一樣，解决数学模型的方法就有难有易，需要我们合理比析，做出选择.

（1）【问题1】的比析