看似寻常最奇崛 解法纷呈显素养

蒋晓铭

摘 要：对一道中考压轴题的解法进行探究，试题以新定义的自位似对称变换为背景，考查概念理解、尺规作图、推理证明，综合性强，区分度好.通过剖析试题特色，总结解题策略，以期提高学生解题能力，促进学生核心素养的落地生根.

关键词：自位似对称变换；解法探究；核心素养

《义务教育课程标准（2022）版》首次对义务教育数学学业质量标准做出了要求和说明.中考试题作为学业质量评价的重要素材，深入研究有利于理解课标，引领教学，促进学生核心素养的落地生根.笔者通过对南京市中考压轴题的研究，剖析试题特色，进行多解研究，寻求教学启示，与读者交流.

1 试题呈现

例题 （2022南京第27题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.

如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线翻折，得到△AFG，则△ADE和△AFG成自位似轴对称.

（1） 如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＜AB，CD⊥AB，垂足为D.下列三对三角形：① △ABC和△ACD；② △BAC和△BCD；③ △DAC和△DCB.其中成自位似轴对称的是________（填所有符合要求的序号）.

（2） 如图3，已知△ABC经过自位似軸对称变换得到△ADE.Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要文字说明）.

（3） 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E是△ABC内一点.∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD.连接DE.求证DE∥AC.

2 解法研究

第（1）问根据自位似轴对称的概念可知符合要求的是①②.从变换的角度看，③ 属于自位似旋转，不符合题意.以下重点展示第（2）、（3）问的解法.

2.1 关于第（2）问

解法1：先将△ABC自位似缩小得到△AFG，△AFG≌△ADE.截取FH＝DQ，找到此时Q的对应点H，再通过位似放大得到点P.如图5所示.

解法2：先将△ADE自位似放大△AFG，△AFG≌△ABC.通过位似放大得到Q的对应点H，再在BC上截取BP＝FH得到点P.如图6所示.

3 教学启示

3.1 关注理解能力 重视直观想象

《义务教育课程标准（2022年版）》在课程目标中指出：“核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现.小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解”.本题第（1）问侧重考查概念理解和辨析，解题过程中要通过想象、画草图分析正确区分位似翻折和位似旋转.第（2）问以尺规作图的形式考查概念运用，重点在于理解题中“对应”二字.可以基于变换视角，先将某个三角形通过位似放大或缩小，确定该图形上的“桥梁”点，再通过找“对应”点的方法确定所求点.也可以基于确定性思考，利用相似图形的性质分析求作点满足的条件，再分析构造.本题将图形的位似和翻折这两种变换通过组合得到一种新的运动变换，它与平时所接触的“旋转手拉手相似”有一定的关联，学生不至于感觉很陌生，但又需要辨析区分.只要学生基本功扎实，突破前两问是没有问题的.

3.2 合理构造图形 培养推理能力

本题第（3）问短小精悍，看似寻常，实则别有洞天.证明两条线平行方法较多，因此解题入口宽，有利于展现学生解题的个性品质.由中点这一条件联想到构造中位线、倍长中线、添加平行线等辅助线添加方式.由角等想到证相似，将这些条件有序组合并挖掘隐含的相似形，解题思路便可产生，这些都属于通性通法范围.本题还可以通过对称处理，将位似对称转化为旋转手拉手相似模型来解决，此外还有面积法和同一法等特殊的解题方法.不同的构造方法，多种解题方式的探索与选择，多角度、多层次地考查了学生的逻辑推理能力^［1］.

3.3 凸显评价功能 引领教学方向

本题的问题串设计层次分明，逻辑结构清晰，很好地考查学生对新概念的理解、想象以及知识的综合运用，信度和效度好，又具有较高区分度，有利于中考的选拔.同时本题的解题过程体现了数学概念学习的一般过程，不啻一堂精彩的解题教学课，对于日常的教学和命题都有着一定的指导意义.

参考文献：

［1］ 吴魏涯，姜晓翔.关注思想方法 凸显核心素养［J］.中学数学教学参考，2021（29）：37-39.

［2］ 沈阳，喻平.PISA2012与我国数学中考题的比较与公考——以南京市试题为例［J］.数学通报，2017，56（1）：6-8+37.

［3］ 王富英.论中学数学习题课教学［J］.数学通报，2020，59（7）：35-39.

［4］ 李昌官.从数学关键能力视角看考题、育素养——以2020年高考理科数学全国Ⅰ卷第12、20题为例［J］.基础教育课程，2020（Z2）：23-29.