铺垫设问重视反思，提升解题教学质量

韦宏芳

摘 要：占有相当比例的解题教学课需要提升解题教学质量，也对教师的备课和课堂组织提出了更高的要求.比如，课前需要深度解题，教师要想清辨明习题的深层结构，然后预设一些铺垫问题，能为后续重点讲评的较难习题提供启发或暗示作用，在讲评之后要通过回顾反思环节促进学生想深、悟透.

关键词：解题教学；铺垫设问；去情境化；回顾反思

本地区八年级上学期期末考试中有一道正方形为背景的阴影面积问题，难住了多数学生，考后访谈少数做到答案的学生也没有说清道明，只是“弯弯绕”的解出正确结果.为此，笔者决定专门安排时间对这道考题进行深度讲评，经过精心准备，取得较好的讲评效果，以下是围绕这道考题的教学“微设计”，整理出来，提供分享和研讨.

1 一道八年级期末考题的教学微设计

热身问题：已知实数a，b满足a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，a-b的值.

教学组织：安排学生独立练习后，展示几个学生的不同解答，并对解法过程进行对比，让学生在对比中学习那些思路较优、过程较简的好方法.

出示考题：如图1中，有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲；将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙，图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和24.若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，求阴影部分的面积.

解法预设：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a-b）2＝1，①

图乙中阴影部分的面积为（a+b）2-（a2+b2）＝24，化简得ab＝12，②

图丙中阴影部分的面积为（2a+b）2-（3a2+2b2），化简得a2+4ab-b2.③

接下来的关键就是由条件①、②，求③式的值，也就是以下“等价问题”.

等价问题：若实数a、b（a＞b）满足（a-b）2＝1，ab＝12，求代数式a2+4ab-b2的值.

先将③“变一变”，a2+4ab-b2＝（a+b）（a-b）+4ab＝（a+b）（a-b）+48.

接下来就是要攻克a+b，a-b的值.

由①，结合a＞b，可得a-b＝1.

再由a-b＝1，ab＝12，根据“热身问题”的解题经验，可求出a+b＝7或-7（负值不舍题意，舍去）.

于是（a+b）（a-b）+48＝7×1+48＝55，即③式的值为55.

答：图丙摆放后阴影部分的面积为55平方單位.

解后回顾：引导学生先自主回顾，可提供一些反思的问题，比如“理解题意，能得出哪些条件？”“本题求解目标的关键是什么”“你解法过程中哪几个步骤是最关键的”等等.教师在学生回答的基础上，在PPT上出示以下三个关键步骤.

2 对解题教学的一些思考

2.1 重视引导学生学会审题

曹才翰、章建跃两位先生曾就“提高解题能力”提出几条教学措施，其中第一条就是要“培养认真审题的习惯，提高审题能力”.审题习惯与审题能力的培养需要教师长期坚持，并不是一蹴而就的.具体来说，当一道习题出示之后，要给学生独立阅读、理解、思考的时间，不要急于提示、启发，在学生还没有读懂题意时就安排少数优秀学生直接开始解法展示.在多数学生已读懂问题，初步理解题意之后，如果安排学生进行讲解，也不要直接说解法步骤，而要通过必要的追问让学生先理清题意，从哪个条件出发，问题的目标或方向是什么，如果是几何题解答时学生往往是先添加辅助线，这时教师要“打断”学生继续推证的节奏，追问他是如何想到这条辅助线？这条辅助线是念头是根据问题中哪个条件想到的，或者基于以前积累是哪一个基本图形的启示？等等.这样的追问，有利于让更多的学生理解“思路是如何发生发展的”.

特别是，有些问题中的条件比较隐蔽，或者是命题者经过包装之后呈现的，审题时就是要解读、破译这类隐蔽的信息，对于解题速度比较快的学生可能就是迅速看懂、想清这些隐蔽信息或包装之后的条件，教师可通过必要的提问让学生暴露他们的思维过程，同时也向其他学生分享审题的经验.像上文“考题”中的图甲、甲乙、图丙的阴影面积就是审题的关键，通过恰当设元，可以表示出它们的阴影面积，这是审题的进展也是后续求求解的“重要进展”.

2.2 去情境化识别等价问题

南京大学哲学系郑毓信教授关于在文中围绕“解题教学的几个关键”曾指出要做好“问题的归类与辨识”.在审题之后，能否准确分析出已知条件、待求结论，然后将这道问题简化为曾经练习过的某类问题，进一步可以借助已学的数学知识、性质进行求解.这个解题进展就可看成是对问题进行了归类与辨识.根据教学经验，笔者发现很多情况下，学生解题的障碍大多在于问题归类出错、辨识不准，从而出现后续求解方向的偏差.比如上文提到的“考题”情境是用正方形纸片拼图作为问题背景，学生需要充分审题之后才能发现本质上是已知两数的和、积，求两数的差.这个过程也看成是解决这类复杂情境问题的“去情境化”，如果被繁杂情境所干扰，不能突显、简化问题，能影响解题进展.

顺便提及，郑教授在文中还指出：“我们显然也不应将数学解题教学与数学知识教学绝对地对立起来，而应更加重视两者的相互渗透，即应以思维方法的分析带动具体数学知识的教学，从而将数学课真正讲活、讲懂、讲深.”这就说明，很多教师在新授课教学时都会精心选编一个问题情境（生活现实或数学现实或其他学科现实），然后在这些问题情境的驱动之下，抽象、分离、归纳、概括出某个数学概念的本质特征，进一步用简洁的数学语言表达这个数学概念或得出这个数学研究对象的定义，这个过程通常称之为去情境化.对应到解题教学中，也可以类比进行教学，比如一个复杂的情境背景之后，引导学生解读情境问题的关键条件，用简洁的数学语言来重新表示，然后把问题再变换成简洁的数学语言（或符号语言）的呈现方式，这里问题就转化为“等价问题”，通常情况下，等价问题多是之前学生已练习过的、熟知的某类问题，多数学生都能顺利解决的.

2.3 解题之后及时回顾反思

不论是美国著名数学教育家波利亚，还是我国很多数学解题教育研究学者（如陕西师范大学罗增儒教授）都十分重视解后回顾反思的教学环节，因为反思回顾可以显著提高解题教学的质量.一般来说，可从以下一些角度来引导学生进行解后回顾，比如复述解题思路，提炼关键步骤；开展一题多解，并对不同解法进行对比或优化；进行同类问题的联想与链接；将问题进行推广、一般化或者特殊化，得到与原问题相关的新问题，等等.当然具体到某道问题解题教学之后，最好教师能在课前针对这道考题预设出一些更为具体的“反思问题”（上文考题讲评之后在回顾反思环节就提出一些具体的反思问题），这样可以更好的引导学生学会反思.还可提及，不少教师在典型问题开展解题教学之后，安排部分学生以“数学写作”的方式进行解后回顾，是一种非常值得推广的好做法，因为学生整理解题过程并详细自己的思考过程并进行必要的概括、拓展，是典型的深度学习.教师可以将优秀的解题随笔、数学写作发布家长群、班级公众号空间进行推介，以激励学生坚持这种回顾反思的方式.

3 结束语

应该承认，解题教学在日常教学中占有相当比例，如何提高解题教学的质量是每个教师都应该努力追求的教学目标.本文从一道地区八年级期末考题的讲评出发，思考了解题教学的几个关键环节（审题、“去情境化”、解后回顾），为提升解题教学质量带来相关启发.