水平荷载下单桩p-y曲线简化计算方法对比研究

赵心涛 赵心福 刘欣

（文章编号：1004－5422（2023）02－0219－06

DOI：10.3969/j.issn.1004-5422.2023.02.018

收稿日期：2022-04-11

作者简介：赵心涛（1983—），男，硕士，讲师，从事建筑工程教学和科研工作.E-mail： xintaozhao3@163.com

摘要：对现有的p-y曲线简化计算方法进行了归纳与总结.通过在水平静力荷载作用下淤泥质黏土中钢管桩的模型试验研究，并结合实际工程案例分析，比较采用各类计算方法对实验数据处理后的土抗力分布，以及拟合p-y曲线.结果表明，采用分段3次拟合法得到的土抗力分布曲线更为合理.各类计算方法拟合的p-y曲线均低于API建议曲线.随着土层深度的增加，采用分段3次拟合法得到的p-y曲线更加贴近于实际理论曲线分布.

关键词：p-y曲线;水平荷载;归纳总结;API建议曲线

中图分类号：TU473.12

文献标志码：A

0引言

水平承载力作为桩基础的重要承载特性，在一些特定环境下，如承受波浪、河流冲刷和潮汐等长期循环作用的支撑建筑物、桥梁、输电线路和公路等结构当中常常以水平承载力来控制设计［1-2］.在过去的几十年当中，p-y曲线方法已经广泛地运用于研究桩与周围土之间的非线性相互作用，并被广泛研究，积累了丰富的资料［3-4］.但随着桩基础类型的不断更新，如大直径钻孔桩和打入桩等的出现，以及施工技术的快速进步，在利用p-y曲线方法来研究桩—土作用过程时，以往提出来的p-y曲线简易计算方法标准需要严格地考虑其适用范围及其准确性.因此，本研究对现有的p-y曲线简化计算方法进行了归纳与总结.通过在水平静力荷载作用下淤泥质黏土中钢管桩的模型试验研究，将加权残差（WR）法和分段3次拟合法拟合的p-y曲线与API建议曲线进行对比.再以2个典型的工程案例为背景，分析各p-y曲线简化计算方法的合理性与准确性.

1p-y曲线简化计算方法

考虑p-y曲线简化计算，需要得到沿桩身的土抗力值和沿桩身的水平位移值.首先要通过沿桩身布置的应变片的读数得到桩身弯矩值，土抗力与水平位移公式为，

=ΔεR（1）

y=∫（∫dz） dz（2）

M=EI（3）

p=-d2Mdz2（4）

式中，Δε为桩身各不同位置处对称布置的拉、压应变片测得读数的差值，R为桩截面半径，y为沿桩身方向不同位置处的水平位移，EI为桩的刚度，M为沿桩身方向不同位置处的弯矩，p为沿桩身方向不同位置处的土抗力.

由公式（2）得到的沿桩身水平位移y是由曲率的二次积分得到.从数学理论上讲，二重积分所造成的计算误差基本可以忽略.由此可推断出曲率二次积分得到的水平位移y值是可靠的.

Wilson［5］提出，采用5次拟合曲率点得到桩身曲率沿桩轴方向的变化曲线，公式为，

=a+bz+cz2+dz3+ez4+fz5（5）

式中，a、b、c、d、e和f为最小二乘法拟合得到的5次曲线方程的常数值.

最后通过二次积分曲率拟合方程可以得到沿桩身方向不同位置处的水平位移分布圖.其中，当桩总长度与上直径的比值大于10时，就可以根据在桩端底处及土抗力为0位置处的水平位移为0确定积分常数.

由公式（4）可知，沿桩身方向不同位置处的土抗力p值是由弯矩进行二次微分得到的.数据点的双重微分造成的测量误差将大大增加，从而导致土抗力p值与真实值偏差较大.

因此，本研究p-y曲线简化计算方法对比研究主要考虑各方法拟合的土抗力p值与理论数据值的对比.首先对相关的计算研究方法加以归纳与总结.

1.1分段3次拟合方法

根据Matlock［6］和 Dunnavant［7］等的研究，分段3次拟合弯矩测点的方法是将每5个连续的弯矩测点读数利用最小二乘法进行3次拟合，再进行二次微分得到土抗力p值，可以分为3个步骤.

1）首先，最靠近土表面的3个测点（包括荷载施加点）的土抗力p值需要三阶多项式拟合起始的5个弯矩点（包括荷载施加点，定义弯矩值为 0），并进行二次微分得到；

2）其次，最靠近桩端底的3个测点的土抗力p值需要三阶多项式拟合最后5个弯矩点，并进行二次微分得到；

3）最后，中间测点的土抗力p值只需采用最小二乘法将 5个连续的弯矩点拟合到三阶多项式上，然后对三阶多项式进行二次微分得到.

Mz=az3+bz2+cz+d（6）

pz=6az+2b（7）

式中，a、b、c和d均为拟合数据的常数值.采用该方法简化计算至少需要测得沿桩身5个不同位置处的弯矩值.

1.2全段5次拟合法

Reese［8］和Wilson［5］等提出的全段5次拟合弯矩测点的方法是直接将测得的弯矩点利用最小二乘法5次拟合.为了更好地缩小土抗力p值的误差，其中二次项上的指数采用2.5代替2.

M（z）=a+bz+cz2.5+dz3+ez4+fz5（8）

式中，a、b、c、d、e和f为最小二乘法拟合得到的5次曲线方程的常数值.该方法因其计算简单，得到了广泛运用.但该方法只有在弯矩变化趋势明显时使用，采用此方法可能会在桩端底部得到较大的土抗力值.

1.3WR法

Wilson［5］为了进一步缩小二次微分造成的误差而提出了WR法.WR法并不是简单的最小二乘法拟合曲线方程，而是一种数值微分方法，这样的方法被广泛运用到有限元计算当中.WR法的主要步骤是假设z在一定范围内（如0≤z≤t），并且找到一个近似的函数uz去代表真实的函数vz.然而在通常情况下uz≠vz，因此，可以定义Rz=uz-vz，即Rz为近似函数和真实函数的差值.虽然在0≤z≤t范围内，R（z）的值不能为零.但是可以假定函数φz，使得Rzφz在0≤z≤t范围内为0，即，

∫t0Rzφzz=0（9）

式中，φz被定义为加权函数，而uz和vz为弱相等函数.

利用WR法进行一次微分测点弯矩值可以得到桩身方向不同位置处的剪力分布.随后，利用WR法再一次微分剪力分布就可以得到土抗力p值分布.Wilson［5］提出，桩轴可以等效为离散的有限单元.如果记fz为沿桩轴方向不同位置处弯矩的分布函数，并假设gz为弯矩分布函数fz的一次导数，那么结合公式（9）可得，

∫t0g（z）-f′zφzz=0（10）

式中，fz和gz都可以被记作“有限元类型”里的形状函数的线性组合.对于桩轴上的每一个有限元节点，上述的加权函数φz可以被视为该形状函数，如图1所示.

由此fz和gz可以被记作“有限元类型”形状函数的线性方程组，公式为，

gz=∑ni=0giφz（11）

fz=∑ni=0fiφz（12）

式中，i为节点单位，范围为0～n；fi为实际测得的弯矩值；z为实际深度；此时的加权函数φz可以当作对于节点i的一个形状函数.

Wilson［5］将公式 （11）和公式 （12）代入公式 （10），并设计出算法系统用来求得gz的值.因此，可以得到桩身方向不同位置处的剪力分布.再循环1次以上的步骤就可以得到桩身方向不同位置处的土抗力p值的分布.

Yang等［9］提出一种改进的WR法，即改进加权残差（SWR）法.在利用WR法进行微分之前先使用Sigmaplot软件将实际测得的弯矩数据点平滑处理，拟合为二维负指数平滑函数.并且还可以在测得的弯矩数据点中增加多个数据，来缩小弯矩测点之间的间距，从而得到更准确的曲线趋势.

1.43次样条曲线法

Mezazigh等［10］提出了采用3次样条曲线来拟合弯矩数据点，并用二次微分来获取土抗力值的方法.虽然3次样条曲线插值法二次微分求土抗力是最简单的方法，然而精确拟合每一个测点的样条曲线会出现更大的误差.因此，本研究暂时不比较该方法.

2钢管桩水平承载特性试验

2.1试验方案

为得到试验桩在水平静力载荷作用下的p-y曲线分布，采用1 g的缩尺试验模拟现场大直径钢管桩承载性能.

试验所用的模型槽尺寸长7 m，宽3.5 m，高4 m.试验土样选用淤泥质黏土，黏土充分饱和后，试验测得饱和黏土含水率为40.5%，孔隙比为1.11.

模型钢管桩壁厚5 mm，钢管外直径10 cm，桩长度3 m.桩身应变片总共22个，沿着桩身方向采取对称分布的方式布置，间距25 cm，并做好防水，如图2所示.钢管桩入土深度2.12 m，如图3所示.

模型桩水平加载试验采用分级加载的方式进行，水平荷载施加点在距离土层表面0.5 m处.每级荷载施加50 N，共进行了6次水平荷载试验.

2.2试验结果分析

不同荷载作用下沿桩身方向弯矩分布如图4所示.分别利用WR法、全段5次拟合法和分段3次拟合法对测得的桩身弯矩值进行处理后求得土抗力p值.

不同擬合方法计算的土抗力p值随土层深度变化的分布图如图5所示.比较图5（A）和图5（B），可以看出，2种方法拟合得到的土抗力分布基本相同.但采用全段5次拟合法得到的土抗力在桩端底部较大.这是由于全段5次拟合弯矩法二次求导产生土抗力误差较大，而拟合数据点精度不够造成的.对比图5（A）和图5（C），可以得到，土抗力变化规律基本一致，并且拟合得到的土抗力分布合理.

沿桩身水平位移y可由曲率5次拟合后二次积分得到，并且从数学理论上来讲，二重积分所造成的计算误差基本可以忽略.基于以上对土抗力分布曲线的对比，本研究将只采用WR法和分段3次拟合法建立p-y曲线并与API建议曲线进行对比.土表面以下1倍桩径处，采用WR法和分段3次拟合法得到的p-y拟合曲线如图6所示，均在API建议曲线下方，即极限土抗力pu值均小于API建议值.采用分段3次拟合法求得的极限土抗力值pu较小.利用WR法和分段3次拟合法来进行桩基结构设计不会过高估计桩基水平承载力，结构设计偏安全可靠.

与API曲线对比示意图土表面以下6倍桩径处，采用WR法和分段3次拟合法得到p-y拟合曲线如图7所示，也在API建议曲线下方.且可以推断出随着土层深度的增加，采用分段3次拟合法拟合出来的曲线越来越贴近API建议曲线，并在6倍桩径处基本吻合.3p-y曲线简化计算方法工程实例验证

3.1托莱多单桩水平荷载试验

在托莱多进行的单桩水平荷载试验［11］中，采用该试验弯矩实测数据点对上述曲线简化计算方法进行对比拟合.取试验桩型号为 MaumeeS1（直径为与API曲线对比示意图2.44 m，长度为28.37 m）分析，详细参数可参考原文文献.

采用SWR、WR、全段5次拟合和分段3次拟合法得到的土抗力分布对比图如图8所示.从图中可明显地看到，在靠近土层表面附近，用WR与SWR法计算得到的土抗力p值为负数.除此之外，使用SWR与SW法得到的土抗力p值随土层深度变化的曲线还会出现几个明显不规则的波峰转折点.图8托菜多单桩水平荷载试验土抗力分布示意图3.2丹佛单桩水平荷载试验

在丹佛进行的单桩水平荷载试验［12］中，采用该试验弯矩实测数据点对上述曲线简化计算方法进行对比拟合.取试验桩型号为 CDOTC1（直径为0.76 m，长度为5.09 m）分析，详细参数可参考原文文献.

采用SWR、WR、全段5次拟合和分段3次拟合法得到的土抗力分布对比图如图9所示.由图中可看出，使用SWR与SW法得到的土抗力p值随土层深度变化的曲线波动异常，并出现明显的转折点.

从上述2例工程实例可以推断出采用WR与SWR法推算出来的p值对于一些水平荷载桩分析采用是不合理的，计算得到的土抗力值在土体表面可能出现负值，且沿桩身分布波动较大.相反采取分段3次拟合法推算出来的土抗力p值分布较为合理.

4结论

本研究对现有的p-y曲线简化计算方法进行了归纳与总结.通过在水平静力荷载作用下淤泥质黏土中钢管桩的模型试验研究与2个工程实例分析，对几种较为典型的p-y曲线简化计算方法加以比较.主要得出以下结论：

1）采用全段5次拟合、WR与SWR法推算出来的土抗力p值在一些情况下误差较大.WR与SWR法推算出来的土抗力p值可能在土表面出现负值，并且沿桩身波动幅度较大，出现明显转折点.相反，由分段3次拟合法推算出来的土抗力p值分布较为合理.

2）采用WR与分段3次拟合法推算得到的土抗力p值均小于API建议值.因此利用2种方法来进行桩基结构设计不会过高估计桩基水平承载力，结构设计偏安全可靠.

3）随着土层深度的增加，利用分段3次擬合法推算出来的p-y拟合曲线更加贴近于实际理论曲线分布.

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（实习编辑：姚运秀）

Comparison of Simplified Calculation Methods of p-y Curve of Single Pile under Lateral Load

ZHAO Xintao1，ZHAO Xinfu2，LIU Xin1

（1.College of Agriculture and Forestry Science and Technology，Weifang Vocational College，Weifang 261041，China;

2.Infrastructure Department，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China）

Abstract：

This paper summarizes the existing p-y curve simplification calculation methods of single pile.Through the model test study of steel pipe pile in muddy clay under horizontal static load and the analysis of practical engineering cases，the distribution of soil resistance and fitting p-y curve after processing the experimental data by each kind of calculation method are compared.The results show that the soil resistance distribution curve obtained by piecewise cubic fitting method is more reasonable.The p-y curve fitted by each calculation method is lower than the curve recommended by API.With the increase in soil depth，the p-y curve obtained by piecewise cubic fitting method is closer to the actual theoretical curve distribution.

Key words：

p-y curve;lateral load;summary;API recommended curve