数学变式教学的策略探究

杨凯明

［摘 要］数学变式教学主要作用于学生概念形成、问题解决和构建活动经验系统。教师要立足数学本质开展变式教学，可以通过改变问题的条件，提出相关的数学概念、原理与方法，抓住新旧知识、新旧问题之间的联系和差异，在“变”和“不变”中将学生的探究引向深入；可以采取多元表征、动态呈现、“道”“术”合一、整体设计和审辩式教学等手段，丰富和发展变式教学，从而构建有生命力的数学课堂，提升学生的数学核心素养。

［关键词］变式教学；策略；审辩

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）09-0001-04

所谓变式，指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。变式教学是数学教师普遍使用的一种教学方法，意在让学生在对知识和技能有初步的理解与掌握后，能进一步地学会运用课本的知识举一反三。它既是一种教学思想，也是一种教学手段。数学课堂中，教师可从不同角度改变教学对象的内涵及数学问题的呈现形式，通过呈现与之相关的非本质属性，引导学生聚焦问题核心，联结关键要素，探寻解决问题的策略，促进学生有意义的、深入的学习数学。

一、多元表征，促进沟通

在问题变式和学生表征的过程中，教师引导学生寻找问题解决的策略和建立数学模型。数学课堂中，教师可利用多元表征，如图表、言语、实物或符号等，引导学生分析问题的结构。这样可扩展学生的思维空间，促进策略互通，使学生形成问题解决的最优策略，从而积累解决问题的经验，构建稳固的认知结构。

思维培养需要丰富的介质，过于单一的教学素材和活动会削弱学生对知识的动态体验与深度探究。以北师大版数学教材五年级上册“尝试与猜测”中的“鸡兔同笼”问题为例，教材仅强调以列表法作为解题方法，比较单一，而“鸡兔同笼”问题有多种的解题方法，蕴含丰富的数学思想，有助于学生核心素养的培养。因此，教师需要对教学内容有全方位的把握，对问题进行有效变式，提高学生解决问题的能力。

（一）一题多法，方法选择多样化

解决“鸡兔同笼”问题，可以关键条件作为突破口，借助表格记录、整理分析情境时所得到的信息和规律，基于有序的前提进行枚举，在表格中根据鸡、兔腿的数量与总腿数之间的数量关系实时调整。由于不同学生的认知水平存在着差异，所以教师在评价反馈时可借助画图法进行分析，在直观感知的同时深化学生对数量关系的理解，以突破难点，使学生掌握假设法这一解题思路。

列表法和画图法作为学生探究分析“鸡兔同笼”问题的基本方法，教师要引导学生将获得的经验迁移至解决此类问题的其他方法，如算术法与方程法等。通过对不同方法的再认识、再思考，学生明晰了方法之间的内在联系，获得具有关联性的活动经验，在多变的解题方法中凸显不变的“假设”本质。

（二）一法多解，思考方式多元化

通过列表法，学生解决问题的思考方式变得可视化、清晰化，有利于学生串联反馈、并联比较。如通过逐一列表、跳跃列表、取中列表等方法，调整表格中的具体数据，从而明晰数量关系，触及问题的核心。这样在尝试与猜测的过程中探寻直观数据背后的规律，有助于学生厘清其中的逻辑关系，进而感悟隐藏在数据背后的数学思想方法，积累活动经验，培养推理意识和数据意识。

（三）一解多用，情境适用多维化

“鸡兔同笼”问题是一类问题的总和，有“龟鹤”问题、“猎人与狗”问题、“车轮”问题和“硬币”问题等（见表1）。数学学习一个是以点带面的过程，通过对问题的剖析，将已有的知识技能和数学思想方法进行正向迁移，使问题从陌生到熟悉，从而掌握一类问题的解决方法。

运用多元表征，引导学生多路径感知、多角度思考、多方位使用，能丰富学生的学习体验，促进新旧知识间的相互作用；同时，图表与文字相互连通，使学生在多元的表征和丰富的情境中体会数学思想方法，最终实现解决问题，提升学习能力。

二、动态呈现，揭示本质

数学课堂上，教师由静态到动态、由直观到抽象、由具体到一般，引导学生多角度地理解数学概念以及数学原理与方法；同时，把背景的干扰因素排除，突出知识的本质属性，使学生建立新概念与已有概念之间的联系，提高学生的思维品质。

例如，教学北师大版数学教材四年级下册“认识平行四边形和梯形”时，学生虽对平行四边形和梯形已有认知，但对其本质特征的理解还是有所缺失的。因此，课堂上探寻学生认知的“最近发展区”，紧抓图形的本质特征进行教学就显得尤为重要。

任务：（出示4组探究材料，见图1）同桌两人合作，选择两组材料拼成平行四边形或梯形，看谁拼得多？

师：拼成的梯形，在材料选择上有什么共同的特点？

生：只要选一组平行线和一组相交线就可以拼成梯形了。

师：一组平行线和一组相交线只能拼成一个梯形吗？

（学生动手操作，感受通过旋转平行线或相交线可以得到无数个梯形，并在操作过程中直观认识直角梯形和等腰梯形）

师：要拼成平行四邊形和一般的四边形，材料选择上有要求（见图3）。

师：（总结）只要有两组平行线就一定能拼成一个平行四边形，任意两组平行线通过旋转可以得到一个长方形或正方形，所以长方形和正方形是特殊的平行四边形；若选择两组相交线，就只能拼成一般的四边形。

……

上述教学，通过开展平移、旋转4组材料的活动，引导学生进一步探究平行四边形和梯形的特征，理解各类四边形之间的联系与区别。这样能丰富学生的感知，激发学生的认知冲突，使学生在对比辨析中将图形的概念精确内化，深化理解正方形和长方形是特殊的平行四边形等知识。

三、“道”“术”合一，形成经验

数学课堂上，教师要创设有利于学生独立探究且能发展学生自主学习能力的教学情境，让学习成为一个积极思考的过程，引导学生在探究过程中自己去发现、去创造；同时帮助学生反思、归纳和总结，探究各种问题变式之间的不同，培养学生概括总结和观察分析的能力。另外，教师还要引导学生大胆猜测，鼓励自主变式，培养学生的变式思维和创新能力。基于以上思考，对北师大版数学教材四年级下册《小数的认识和加减法》一课的习题进行以下设计。

1.给74+213添加小数点

（1）使结果是二十几；

（2）使结果是七十几；

（3）使结果是九十几。

2.快问快答

1+0.1        1.1+0.1   1+0.11   1.11-0.11

1.1+0.11   1-0.01    1-0.1

3.解决问题

（1）编一道用“1-0.1”来解决的数学问题。

（2）下面这些问题，哪些能用“1-0.1”来解决？

①小明有1元，比小方少0.1元，小方有多少元？

②小明有1元，比小方多0.1元，小方有多少元？

③甲是1，乙比甲少0.1，甲和乙一共是多少？

④两根绳子共长1米，其中一根绳子长0.1米，另一根绳子有多长？        [？米][甲][1米][少0.1米][乙][ ][ ] [⑤]

上述习题的设计，通过解题方法的变式和训练实施的变式，使学生在计算中将其与解决问题有机结合，进一步理解小数加减法的算理。

（一）以旧变新，理法融合

“数的运算”是一个大板块的教学内容，小数加减法是在数域拓展的基础上与整数加减法进行算法的迁移和互通。值得注意的是，虽然整数加减法和小数加减法的运算本质都是相同计数单位的个数相加减，但是整数加减法的竖式计算只需数的末尾对齐便能保证相同数位对齐，而这在小数加减法中并不适用，甚至导致学生产生负迁移。另外，后续学习的小数乘法竖式又是小数末尾对齐，而不是相同数位对齐了。因此，小数加减法的教学至关重要，要使学生清晰地明白如何算、为什么要这样算。

教学中，教师让学生为整数算式74+213添加小数点，引导学生在认知冲突中加深對算理的理解与运用。这样的变式练习，既是对运算技能的迁移和巩固，也有利于培养学生估算的意识和能力。

小数加减法的学习是掌握小数运算的第一步，计算训练当然必不可少。教材中的练习2用基础的数据进行变式，排除非本质特征的干扰，看似简单，实则直击关键（必须看清数字1在哪一数位上）。教师在教学中要引导学生聚焦算理和算法，再次明确只有相同计数单位的数才能直接相加减。这样就将枯燥的计算练习变为有趣的竞赛活动，既能激发学生的答题兴趣，又可以有效突破教学难点。

（二）以简驭繁，算用结合

教材中的练习3重视算用结合，以用促算。通过设计开放性的练习，如“编一道用‘1-0.1来解决的数学问题”“下面这些问题，哪些能用‘1-0.1来解决？”等，有助于学生感受计算的价值，增进对计算的理解。同时，把小数加减法与问题解决相结合，在编题、辩题的过程中内化关联，这样使学生充分感受到小数加减法的意义和作用。

四、整体设计，优化结构

数学课堂中，教师进行变式教学要注重整合单元目标，以长目标为重心，使变式教学有整体的规划和设计。同时，教师要引导学生建立前后知识间的内在联系，使原有的间断、零散的知识成为一个有机的整体，帮助学生构建完善的知识结构。

“分数混合运算”“百分数解决问题”和“比的应用”这三个内容编排在六年级上册不同的单元中，知识呈散点分布，导致学生对这三个知识点的内在联系并不明晰，无法正确解答相应的习题。另外，学生的个体差异客观存在，教师设计变式练习时，要关注每一个学生已有的知识与技能情况。因此，在进行知识联结时，教师还应体现“让不同的学生在数学上得到不同的发展”这一理念。例如，教学北师大版数学教材六年级上册《百分数的应用》后，可设计以下的变式练习。

联合国规定每年的5月31日为“世界无烟日”。在2022年“世界无烟日”的宣传活动中，某实验小学六年级4个班参加了以“共享无烟环境”为主题的创新实践作品征集活动（每人提交的作品数最多2件）。东东得到以下信息：

①六（2）班提交了48件作品；

②六（1）班提交的作品件数比六（2）班多[14]；

③六（3）班和六（1）班提交的作品件数的比是5∶6；

④六（4）班提交的作品件数比六（3）班少20%。

1.根据信息①和②，算式48×[14]是求（                ），同时请将线段图补充完整，正确表示出这个算式。

2.想知道六（3）班提交了多少件作品，需要用到其中的信息是（       ）（填写序号）。同时请你算一算。

3.请你提出一个需要两步或两步以上计算的数学问题，并解答。

在尝试解题的过程中，学生发现百分数的问题解决和之前学过的分数、比的问题解决方法本质相同，重点都在于正确分析数量关系，建立解题模型。像这样将多个知识点融入同一模块题组中呈现，有利于学生对知识进行联系沟通，厘清整体结构中的逻辑关系，形成融会贯通的认知系统。

五、审辩教学，深度理解

问题是质疑的开始。课堂上，教师可制造认知冲突，促使学生积极思考与探究，形成冷静、客观的思维习惯，进而能根据信息之间的联系，从不同的角度、不同的方面提出新的问题。同时，教师要设计思维发散的开放性练习，引导学生在质疑、推理和反思等活动中深入思考，探究解决问题的方法，使学生在听到他人见解的时候，不仅有自己的理性思考，还能不断地追问思辨，做出自己的判断，提高自身的审辩式思维能力。

例如，人教版数学教材六年级上册《用百分数解决问题》中的例5“某种商品4月末的价格比3月末降了20%，5月末的价格比4月末又涨了20%。5月末的价格和3月末比是涨了还是降了？”，主要解决“先降价20%，再涨价20%，是否能回到原价？”的问题。教师在教学中可以引导学生提出和思考以下问题：“衬衫先降价20元，再涨价（     ）元才能回到原价？”“先降20%，再涨20%，能不能回到原价？”“为什么先降20%，再涨20%不能回到原价？”“百分数如果不是20%，而是10%或者60%，或者其他的百分数，能回到原价吗？”“降20%，涨（     ）%才能回到原价？”“刚才是先降后涨，假如先涨后降，能不能回到原价？”“前面讲到，降20%，涨25%才能回到原价。那么先涨20%，要再降（     ）%才能回到原价？”……如此不断地产生问题，借由问题的解决来推进教学，让学习在学生自己的提问和释疑中深度发生。在质疑提问、审辩反思的过程中，学生产生强烈的探究欲望，不断深入探究，有效培养了学生的高阶思维。

数学课堂中开展变式教学，不仅能帮助学生掌握数学的基础知识与基本技能，还能深入理解数学知识的来源和本质，提升学生解决问题的能力。因此，教师要引导学生探寻问题变化的规律，聚焦不变的本质，建立解决问题的通用模型，在“变”与“不变”中互通，使课堂更有深度、探究更有意义、思维更有活力，从根本上提高数学课堂教学的有效性。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究[J].数学教学，2003（1）：11-12.

[2] 鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅．变式教学研究（续）[J].数学教学，2003（2）：6-10，23.

[3] 鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅．变式教学研究（再续）[J].数学教学，2003（3）：6-12.

[4] 徐文彬，彭亮.“变式教学法”解析及其运用[J].教育研究与评论（小学教育教学），2016（6）：5-13.

（责编 杜 华）